El colímite categórico que pega dos objetos a lo largo de un subobjeto común: dadas A → B y A → C, el pushout B ⊔_A C es el objeto universal que recibe mapas de B y C que coinciden sobre A.

Principio

Caracterizado por la propiedad universal de colímites: B ⊔_A C viene con mapas canónicos i_B: B → B ⊔_A C y i_C: C → B ⊔_A C tales que i_B∘f = i_C∘g en A, y cualquier otro objeto que reciba mapas compatibles de B y C factoriza de forma única a través del pushout.

Demostración

En la categoría de conjuntos, el pushout de las inclusiones A ↪ B y A ↪ C es la unión disjunta B ⊔ C módulo la identificación de los elementos que provienen de A. En topología, los pushouts pegan espacios a lo largo de un subespacio común (por ejemplo, adherir una célula pegando su frontera). En álgebra se forman a menudo construcciones por cocientes que realizan sumas amalgamadas de anillos o grupos con relaciones adicionales.

Aplicación incorrecta

Tratar los pushouts como uniones conjuntistas ingenuas en categorías donde la estructura adicional importa (olvidar las identificaciones, los pegados topológicos o las relaciones algebraicas). Otro abuso es suponer que los pushouts preservan mono o incrustaciones automáticamente; pueden introducir identificaciones que rompan la inyectividad.

Consecuencia

Los pushouts implementan pegados, amalgamaciones y adherencias y son centrales en construcciones de colímites, coigualizadores y diagramas. Permiten combinar objetos imponiendo las identificaciones dictadas por un subobjeto común, produciendo amalgamas universales usados en álgebra y topología.

Inversión

Dual al pullback: mientras el pushout es el cocono universal que fusiona a partir de una fuente, el pullback es el cono universal que sincroniza a lo largo de un objetivo. La inversión intercambia el comportamiento de colímite (amalgamación) por el de límite (sincronización).

Límite

Requiere una categoría ambiente con los colímites pertinentes; la existencia y la forma dependen de la categoría (conjuntos, espacios topológicos, módulos, grupos, anillos se comportan de modo distinto). No todo pushout preserva propiedades como incrustaciones, presentación finita o la separación de Hausdorff.

Tensión semántica

Se confunde con uniones o concatenaciones ingenuas porque ambos ‘pegan’ componentes, pero el pushout está definido por una propiedad universal y puede crear identificaciones o relaciones algebraicas ausentes en una simple unión. También existe tensión con coproductos fibrados y coigualizadores, que son cercanos pero distintos.

Síntesis

El pushout es la forma universal de pegar dos objetos a lo largo de un subobjeto compartido: constituye el cocono que identifica las imágenes de la parte común y medía toda pareja de mapas compatibles hacia cualquier otro objeto.