Un R-module est un groupe abélien muni d'une action compatible d'un anneau R : une application R × M → M satisfaisant la distributivité, l'associativité vis-à-vis de la multiplication de l'anneau, et 1·m = m si R possède une unité. Il généralise les espaces vectoriels en autorisant des scalaires venant d'un anneau.

Principe

L'idée organisatrice est la linéarité relative à un anneau : les scalaires agissent linéairement mais ne sont pas forcément inversibles, de sorte que bases et dimension peuvent faire défaut et que la notion de côté (module à gauche ou à droite) importe lorsque R est non commutatif.

Démonstration

Tout groupe abélien est un Z-module où n·m est l'addition répétée ; les modules sur un PID comme les Z-modules de type fini se décomposent en sommes directes de modules cycliques (théorème de structure), montrant des comportements libres et de torsion.

Mauvaise application

Supposer que les modules se comportent comme des espaces vectoriels : traiter tous les modules comme libres avec bases et dimensions conduit à des erreurs — beaucoup de modules ont de la torsion ou ne sont pas libres, comme Z/2Z vu comme Z-module.

Conséquence

Les modules fournissent le langage naturel de l'algèbre linéaire sur des anneaux, de l'algèbre homologique, des suites exactes, des produits tensoriels et des groupes d'extensions ; ils organisent de nombreuses constructions en algèbre et géométrie.

Inversion

Restreindre les scalaires à un corps ramène aux espaces vectoriels où la dimension est bien définie et où nombre de pathologies disparaissent ; abandonner l'additivité ou la compatibilité détruit la structure de module.

Limite

Distinguer modules à gauche et à droite, bimodules, et exiger la structure additive abélienne ; les actions par des objets non anneau ou des groupes non abéliens sont en dehors de cette définition.

Tension sémantique

Tension entre 'module' et 'représentation' (une structure de module interprète souvent une action d'une algèbre ou d'un groupe) et entre les modules vus comme faisceaux de modules en géométrie et les modules algébriques sur un anneau.

Synthèse

Un module est la notion flexible d'objet linéaire sur un anneau : un groupe additif muni d'une action par l'anneau qui étend l'intuition des espaces vectoriels tout en admettant torsion, exemples non libres et phénomènes liés au côté, et constituant la base des méthodes homologiques.