Un R-módulo es un grupo abeliano provisto de una acción compatible de un anillo R: una aplicación R × M → M que satisface distributividad, asociatividad con la multiplicación del anillo y 1·m = m cuando R tiene unidad. Generaliza los espacios vectoriales permitiendo escalares de un anillo.

Principio

La idea organizadora es la linealidad relativa a un anillo: los escalares actúan linealmente pero no tienen por qué ser invertibles, de modo que bases y dimensión pueden no existir y la lateralidad (módulo por la izquierda o por la derecha) importa si R es no conmutativo.

Demostración

Todo grupo abeliano es un Z-módulo donde n·m es la suma repetida; los módulos sobre un PID como los módulos finitamente generados sobre Z se descomponen en suma directa de módulos cíclicos (teorema de estructura), mostrando comportamientos libres y de torsión.

Aplicación incorrecta

Asumir que los módulos se comportan como espacios vectoriales: tratar todos los módulos como libres con bases y dimensión conduce a errores — muchos módulos tienen torsión o no son libres, como Z/2Z visto como Z-módulo.

Consecuencia

Los módulos proporcionan el lenguaje natural para el álgebra lineal sobre anillos, la álgebra homológica, sucesiones exactas, productos tensoriales y grupos Ext; organizan muchas construcciones en álgebra y geometría.

Inversión

Restringir los escalares a un cuerpo recupera espacios vectoriales con dimensión bien definida y muchas patologías desaparecen; renunciar a la aditividad o compatibilidad destruye la estructura de módulo.

Límite

Distinguir módulos por la izquierda y por la derecha, bimódulos, y exigir la estructura aditiva abeliana; acciones por objetos no anillo o grupos no abelianos quedan fuera de esta definición.

Tensión semántica

Tensión entre 'módulo' y 'representación' (una estructura de módulo suele interpretar la acción de una álgebra o grupo) y entre módulos como haces de módulos en geometría y módulos algebraicos sobre un anillo.

Síntesis

Un módulo es la noción flexible de objeto lineal sobre un anillo: un grupo aditivo con una acción por el anillo que extiende la intuición de espacios vectoriales pero admite torsión, ejemplos no libres y fenómenos de lateralidad, y sirve de base a los métodos homológicos.