Un anneau commutatif avec unité dans lequel tout élément non nul possède un inverse multiplicatif ; autrement dit, les éléments non nuls forment un groupe abélien pour la multiplication.

Principe

Le principe est que les scalaires non nuls sont des unités, donc la division (à l'exception de la division par zéro) est toujours possible et l'algèbre linéaire sur ce corps est bien comportée.

Démonstration

Les nombres rationnels Q, les réels R et les corps finis F_p (entiers modulo un premier p) sont des corps ; par exemple, dans F_7 l'inverse de 3 est 5 car 3·5 = 15 ≡ 1 (mod 7).

Mauvaise application

Qualifier un anneau de corps parce que de nombreux éléments sont inversibles ; par exemple Z n'est pas un corps malgré les unités ±1, et une localisation ne devient corps que si tous les éléments non nuls sont inversés.

Conséquence

Les corps servent de scalaires aux espaces vectoriels, déterminent la caractéristique (0 ou un premier p) et, dans le cas fini, imposent des contraintes de cardinalité (puissance d'un premier), ce qui permet l'algèbre linéaire et la théorie des extensions de corps.

Inversion

Un anneau de division non commutatif ou un anneau intègre dépourvu d'inverses pour certains éléments non nuls contraste avec le corps : la commutativité ou l'inversibilité universelle fait défaut.

Limite

Doit être commutatif et posséder des inverses multiplicatifs pour chaque élément non nul ; l'anneau nul et les anneaux avec diviseurs de zéro sont exclus.

Tension sémantique

Tension entre 'corps' et 'anneau de division' (ce dernier abandonne la commutativité), et entre l'utilisation concrète des corps comme corps de scalaires et les corps considérés abstraitement à isomorphisme près.

Synthèse

Un corps est le cadre algébrique commutatif canonique où l'addition et la multiplication forment un anneau et chaque élément non nul est inversible, offrant un environnement propice à la division, aux espaces vectoriels et à la théorie des extensions.