Un anillo conmutativo con unidad en el que todo elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo; equivalentemente, los elementos no nulos forman un grupo abeliano bajo la multiplicación.

Principio

La regla definitoria es que los escalares no nulos son unidades, de modo que la división (excepto por cero) es universalmente posible y el álgebra lineal sobre el cuerpo se comporta bien.

Demostración

Los números racionales Q, los reales R y los cuerpos finitos F_p (enteros módulo un primo p) son cuerpos; por ejemplo, en F_7 el inverso de 3 es 5 porque 3·5 = 15 ≡ 1 (mod 7).

Aplicación incorrecta

Llamar cuerpo a un anillo porque muchos elementos son invertibles; por ejemplo Z no es un cuerpo aunque tenga las unidades ±1, y una localización solo es cuerpo si se invierten todas las no nulas.

Consecuencia

Los cuerpos sirven como escalares para espacios vectoriales, determinan la característica (0 o primo p) y, en casos finitos, imponen restricciones de tamaño (potencia de un primo), permitiendo álgebra lineal y teoría de extensiones de cuerpos.

Inversión

Un anillo de división no conmutativo o un dominio íntegro que carece de inversos para algunos elementos no nulos contrasta con el cuerpo: falta la conmutatividad o la invertibilidad universal.

Límite

Debe ser conmutativo y tener inversos multiplicativos para cada elemento no nulo; el anillo cero y los anillos con divisores de cero quedan excluidos.

Tensión semántica

Tensión entre 'cuerpo' y 'anillo de división' (éste prescinde de la conmutatividad), y entre el uso concreto de cuerpos como escalares y los cuerpos considerados de forma abstracta hasta isomorfismo.

Síntesis

Un cuerpo es el entorno algebraico conmutativo canónico donde la adición y la multiplicación forman un anillo y cada elemento no nulo es invertible, proporcionando una base robusta para la división, los espacios vectoriales y la teoría de extensiones.