Un anneau commutatif non nul muni d'une unité et dépourvu de diviseurs de zéro non nuls ; autrement dit, un anneau R avec 1 ≠ 0 tel que ab = 0 implique a = 0 ou b = 0.

Principe

La règle essentielle est la simplification des facteurs non nuls : un produit nul n'apparaît que si l'un des facteurs est nul, permettant la construction d'un corps de fractions et des arguments de simplification multiplicative.

Démonstration

Les entiers Z forment un anneau intègre : si ab = 0 dans Z alors a = 0 ou b = 0. Les anneaux de polynômes sur un corps K[x] sont intègres, donc le produit de polynômes non nuls est non nul.

Mauvaise application

Supposer que tout anneau intègre est un anneau factoriel ou intégralement clos ; par exemple, des propriétés de factorisation ou de clôture intégrale exigent des hypothèses supplémentaires.

Conséquence

L'absence de diviseurs de zéro permet de construire le corps des fractions, d'appliquer la simplification dans des arguments multiplicatifs et de développer une théorie de divisibilité analogue à celle des entiers.

Inversion

Un anneau avec diviseurs de zéro (par ex. Z/6Z) rompt la simplification : des éléments non nuls peuvent donner un produit nul et de nombreux raisonnements reposant sur la localisation ou la division échouent.

Limite

Exige la commutativité et l'existence d'une unité et exclut l'anneau nul ; les analogues non commutatifs ou les anneaux avec diviseurs de zéro sont hors de cette notion.

Tension sémantique

Tension entre le sens de 'domaine' comme anneau intègre et d'autres usages du mot (domaine d'une fonction), ainsi qu'entre la propriété d'intégrité et des propriétés de factorisation plus fortes.

Synthèse

Un anneau intègre est un anneau commutatif avec unité sans diviseurs de zéro non nuls, autorisant la simplification, la construction d'un corps de fractions et servant de base à l'étude de la divisibilité et de la factorisation sous des hypothèses supplémentaires.