Un anillo conmutativo no nulo con unidad que no tiene divisores de cero no nulos; equivalente a un anillo conmutativo R con 1 ≠ 0 tal que ab = 0 implica a = 0 o b = 0.

Principio

La regla central es la cancelación de factores no nulos: los productos se anulan solo cuando uno de los factores es cero, lo que permite la construcción del campo de fracciones y argumentos de cancelación multiplicativa.

Demostración

Los enteros Z son un dominio íntegro: si ab = 0 en Z entonces a = 0 o b = 0. Los anillos de polinomios sobre un cuerpo K[x] son dominios íntegros, por lo que polinomios no nulos se multiplican a polinomios no nulos.

Aplicación incorrecta

Asumir que todo dominio íntegro es un dominio de factorización única o que es integrally closed; propiedades más fuertes de factorización o cierre integral requieren hipótesis adicionales.

Consecuencia

De la ausencia de divisores de cero se puede construir el campo de fracciones, aplicar cancelación en argumentos multiplicativos y desarrollar una teoría de divisibilidad similar a la de los enteros.

Inversión

Un anillo con divisores de cero (p. ej. Z/6Z) rompe la cancelación: elementos no nulos pueden dar producto cero y muchos argumentos usando localización o división fallan.

Límite

Requiere conmutatividad y unidad y excluye el anillo cero; análogos no conmutativos o anillos con divisores de cero quedan fuera de esta noción.

Tensión semántica

Hay tensión entre 'dominio' como dominio íntegro y otros usos de 'dominio' (dominio de una función), y entre la integridad y propiedades de factorización más fuertes.

Síntesis

Un dominio íntegro es un anillo conmutativo con identidad que prohíbe divisores de cero no nulos, permitiendo la cancelación, un campo de fracciones canónico y sirviendo de base para estudiar divisibilidad y factorización con hipótesis adicionales.