Un ensemble muni de deux opérations binaires, appelées addition et multiplication, telles que l'addition forme un groupe abélien, la multiplication est associative, et la multiplication distribue sur l'addition ; les anneaux peuvent ou non posséder un élément multiplicatif unité et la multiplication n'est pas nécessairement commutative.

Principe

Un anneau combine une structure de groupe abélien additif avec un semi-groupe multiplicatif et des lois distributives qui les relient ; cette combinaison soutient des constructions linéaires, idéales et modulaires centrales en algèbre et théorie des nombres.

Démonstration

Les entiers Z forment un anneau commutatif unitaire : (Z,+) est un groupe abélien, la multiplication est associative et commutative, 1 est l'unité multiplicative, et la multiplication distribue sur l'addition ; les anneaux de polynômes et les anneaux de matrices sont d'autres exemples usuels (les matrices donnent des anneaux non commutatifs).

Mauvaise application

Supposer l'existence d'inverses multiplicatifs pour les éléments non nuls (confondre anneau et corps) ou supposer la commutativité de la multiplication pour un anneau non commutatif (par exemple l'anneau de matrices) invalide des arguments sur la factorisation ou la division.

Conséquence

Dans un anneau on peut définir idéaux, anneaux quotients, modules, homomorphismes d'anneaux et développer des notions comme la factorisation, la localisation et la théorie des représentations ; les anneaux fournissent le cadre algébrique pour les opérateurs linéaires, l'arithmétique et la géométrie algébrique.

Inversion

Si tout élément non nul admet un inverse multiplicatif et que la multiplication est commutative, l'anneau devient un corps ; supprimer l'associativité de la multiplication donne des algèbres non associatives, et oublier l'addition laisse un semi-groupe ou monoïde multiplicatif.

Limite

S'applique aux systèmes algébriques à deux opérations binaires satisfaisant aux axiomes de groupe abélien pour l'addition, à l'associativité de la multiplication et aux lois distributives ; exclut les structures sans distributivité, les lois multiplicatives non associatives et les objets de type anneau munis de structures supplémentaires (topologiques, d'ordre) non captées par les axiomes d'anneau.

Tension sémantique

Anneau vs Corps : un anneau n'exige pas d'inverses multiplicatifs pour les éléments non nuls ni la commutativité ; anneau vs rng : certains auteurs appellent 'rng' un anneau sans unité ; anneau vs algèbre sur un anneau : une algèbre ajoute une multiplication par scalaires externes venant d'un autre anneau ou corps.

Synthèse

Un anneau est la structure algébrique qui réunit un groupe abélien additif et une loi multiplicative associative reliées par la distributivité, constituant l'environnement naturel de l'arithmétique, de la théorie des modules et de nombreuses constructions algébriques.