Un conjunto dotado de dos operaciones binarias, habitualmente llamadas adición y multiplicación, donde la adición forma un grupo abeliano, la multiplicación es asociativa y la multiplicación distribuye sobre la adición; los anillos pueden o no poseer identidad multiplicativa y no tienen por qué ser conmutativos.

Principio

Un anillo combina una estructura de grupo abeliano aditivo con un semigrupo multiplicativo y leyes distributivas que los enlazan; esta combinación sustenta construcciones lineales, ideales y modulares centrales en álgebra y teoría de números.

Demostración

Los enteros Z forman un anillo conmutativo con unidad: (Z,+) es un grupo abeliano, la multiplicación es asociativa y conmutativa, 1 es la identidad multiplicativa, y la multiplicación distribuye sobre la adición; anillos de polinomios y anillos de matrices son otros ejemplos estándar (los de matrices son no conmutativos).

Aplicación incorrecta

Suponer inversos multiplicativos para todos los elementos no nulos (confundir anillo con cuerpo) o asumir conmutatividad de la multiplicación en anillos no conmutativos (por ejemplo, matrices) invalida argumentos sobre factorización o división.

Consecuencia

Si una estructura es un anillo, puede definirse ideal, anillo cociente, módulo, homomorfismo de anillos y derivarse propiedades como factorización, localización y teoría de representaciones; los anillos proporcionan el marco algebraico para operadores lineales, aritmética y geometría algebraica.

Inversión

Si todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo y la multiplicación es conmutativa, el anillo se convierte en cuerpo; eliminar la asociatividad de la multiplicación da lugar a álgebras no asociativas, y olvidar la adición deja un semigrupo o monoide multiplicativo.

Límite

Se aplica a sistemas algebraicos con dos operaciones binarias que satisfacen los axiomas de grupo abeliano en la adición, asociatividad multiplicativa y distributividad; excluye estructuras sin distributividad, leyes multiplicativas no asociativas y objetos análogos al anillo con estructuras topológicas u orden adicionales no captadas por los axiomas de anillo.

Tensión semántica

Anillo vs Cuerpo: los anillos no requieren inversos multiplicativos para elementos no nulos ni conmutatividad; anillo vs rng: algunos autores usan 'rng' para anillos sin unidad; anillo vs álgebra sobre un anillo: una álgebra añade multiplicación por escalares externos procedentes de otro anillo o cuerpo.

Síntesis

Un anillo es la estructura algebraica que combina un grupo abeliano aditivo y una ley multiplicativa asociativa conectadas por distributividad, formando el entorno natural para la aritmética, la teoría de módulos y muchas construcciones algebraicas.