Un ensemble muni d'une opération binaire associative mais ne possédant pas nécessairement d'élément neutre ni d'inverses.

Principe

Les semi-groupes n'exigent que l'associativité et la clôture ; en affaiblissant les exigences d'identité et d'inversibilité ils décrivent la concaténation et la composition itérative sans présumer de neutralité ou de réversibilité.

Démonstration

L'ensemble des mots finis non vides muni de la concaténation est un semi-groupe : la concaténation est associative mais il n'y a pas d'élément neutre dans l'ensemble des mots non vides ; de même, les entiers positifs pour la multiplication (excluant 1) forment un semi-groupe.

Mauvaise application

Supposer l'existence d'un neutre dans un semi-groupe alors qu'il n'en existe pas conduit à des factorisations incorrectes ; de même, présumer l'existence d'inverses entraîne des résolutions d'équations fallacieuses et des erreurs structurelles.

Conséquence

L'associativité suffit à rendre les produits de suites finies d'éléments non ambigus et autorise l'étude des puissances, des idempotents et des relations de Green ; on peut adjoindre un neutre pour former un monoïde si nécessaire.

Inversion

Adjoindre un neutre bilatéral donne un monoïde ; exiger des inverses pour tous les éléments donne un groupe ; supprimer l'associativité conduit à des magmas et autres systèmes non associatifs.

Limite

Concerne les structures à une opération associative sans exiger identité ni inverses ; exclut les systèmes algébriques à plusieurs opérations, les magmas non associatifs et les compositions partiellement définies.

Tension sémantique

Semi-groupe vs Monoïde : un semi-groupe peut manquer d'identité alors qu'un monoïde en possède ; semi-groupe vs catégorie : les semi-groupes abstraient la composition sans la structure d'objets des catégories ; objet monoïde dans une catégorie monoïdale introduit des variantes de niveau supérieur.

Synthèse

Un semi-groupe est le cadre algébrique associatif minimal qui saisit l'idée de composition séquentielle et d'application répétée, servant de base pour construire des monoïdes et groupes en adjoignant neutre ou inverses.