Un conjunto provisto de una operación binaria asociativa pero que no posee necesariamente elemento identidad ni inversos.

Principio

Los semigrupos requieren solo asociatividad y cierre; al relajar las exigencias de identidad e invertibilidad capturan concatenación y composición iterada sin suponer neutralidad o reversibilidad.

Demostración

El conjunto de cadenas finitas no vacías con concatenación es un semigrupo: la concatenación es asociativa, pero no existe identidad en el conjunto de cadenas no vacías; de modo similar, los enteros positivos bajo multiplicación (excluyendo el 1) forman un semigrupo.

Aplicación incorrecta

Asumir que existe una identidad dentro de un semigrupo cuando no la hay puede generar factorizaciones incorrectas; asimismo, suponer inversos conduce a errores al resolver ecuaciones y a fallos estructurales.

Consecuencia

Solo la asociatividad asegura productos bien definidos de secuencias finitas de elementos y permite estudiar potencias, idempotentes y las relaciones de Green; puede adosarse una identidad para formar un monoide cuando convenga.

Inversión

Adosar una identidad bilateral produce un monoide; exigir inversos para todos los elementos da un grupo; eliminar la asociatividad conduce a magmas y a otros sistemas no asociativos.

Límite

Se aplica a estructuras de una sola operación asociativa sin exigir identidad ni inversos; excluye sistemas algebraicos con múltiples operaciones, magmas no asociativos y composiciones parcialmente definidas.

Tensión semántica

Semigrupo vs Monoide: un semigrupo puede carecer de identidad mientras que un monoide la tiene; semigrupo vs categoría: los semigrupos abstraen la composición pero carecen de la estructura de objetos de las categorías; el objeto monoide en una categoría monoidal aporta variantes de orden superior.

Síntesis

Un semigrupo es el marco algebraico asociativo mínimo que captura la idea de composición secuencial y aplicación repetida, y sirve de base para construir monoides y grupos añadiendo identidad o inversos.