Un groupe dont l'opération binaire est commutative, de sorte que pour tous éléments a et b on a a·b=b·a.

Principe

Les groupes abéliens ajoutent la contrainte de commutativité aux axiomes de groupe ; l'ordre de combinaison des éléments n'affecte pas le résultat, ce qui simplifie la structure et la classification.

Démonstration

Les entiers Z munis de l'addition forment un groupe abélien car a+b=b+a pour tous les entiers ; cette commutativité est à la base de la classification des groupes abéliens de type fini et de l'algèbre linéaire sur Z.

Mauvaise application

Supposer la commutativité dans un groupe non abélien (par exemple la multiplication matricielle) conduit à des simplifications erronées et à l'application invalide de théorèmes de décomposition.

Conséquence

Pour un groupe abélien on obtient des décompositions en sommes directes, une classification des sous-groupes et des homomorphismes plus simple, et on peut utiliser des méthodes de modules et d'homologie ; de nombreux invariants se simplifient.

Inversion

Supprimer la commutativité conduit à la notion générale de groupe où l'ordre importe et où apparaissent la conjugaison non triviale et des groupes simples non abéliens.

Limite

Couvre uniquement les groupes dont l'opération est commutative ; exclut les groupes non abéliens, les situations où la commutativité vaut seulement sur un sous-ensemble, et les opérations non globalement définies.

Tension sémantique

Groupe abélien vs groupe additif d'un anneau : le groupe additif d'un anneau est abélien, mais l'anneau comporte en outre une multiplication ; groupe abélien vs espace vectoriel : un groupe abélien n'admet pas nécessairement une multiplication scalaire sur un corps.

Synthèse

Un groupe abélien est un groupe dont la loi associative est aussi commutative, fournissant un cadre algébrique proche de llinéarité où l'ordre des combinaisons est indifférent et où les méthodes de classification et d'homologie sont applicables.