Un grupo cuya operación binaria es conmutativa, de modo que para todos los elementos a y b se cumple a·b = b·a.

Principio

Los grupos abelianos imponen la condición de conmutatividad sobre los axiomas de grupo; el orden de combinación no altera el resultado, lo que simplifica la estructura y su clasificación.

Demostración

Los enteros Z con la suma forman un grupo abeliano porque a+b=b+a para todos los enteros; esa conmutatividad sustenta la clasificación de grupos abelianos finitamente generados y técnicas lineales sobre Z.

Aplicación incorrecta

Suponer conmutatividad en un grupo no abeliano (por ejemplo, la multiplicación de matrices) conduce a simplificaciones incorrectas y a la aplicación indebida de teoremas de descomposición.

Consecuencia

Si un grupo es abeliano se disponen de descomposiciones en sumas directas, la clasificación de subgrupos y homomorfismos es más sencilla, y pueden aplicarse métodos de módulos y homológicos; muchos invariantes se simplifican.

Inversión

Eliminar la conmutatividad da la noción general de grupo donde el orden importa y aparecen fenómenos como la conjugación no trivial y grupos simples no abelianos.

Límite

Incluye solo grupos con operación conmutativa; excluye grupos no abelianos, contextos en que la conmutatividad vale solo para un subconjunto y operaciones no definidas globalmente.

Tensión semántica

Grupo abeliano vs grupo aditivo de un anillo: el grupo aditivo de un anillo es abeliano, pero el anillo tiene además una multiplicación; grupo abeliano vs espacio vectorial: un grupo abeliano no tiene por qué admitir multiplicación por escalares de un cuerpo.

Síntesis

Un grupo abeliano es un grupo cuya ley asociativa es también conmutativa, produciendo un entorno algebraico similar a la linealidad donde el orden de combinación carece de importancia y las técnicas de clasificación y homología son aplicables.