Una aplicación continua inyectiva f : X → Y entre espacios topológicos tal que f es un homeomorfismo sobre su imagen f(X) dotada de la topología de subespacio inducida por Y; equivalente a identificar topológicamente X con el subespacio f(X) de Y.

Principio

Preservar tanto la inyectividad puntual como la topología intrínseca: la aplicación debe ser no solo uno a uno y continua, sino también reflejar abiertos (o cerrados) para que las propiedades topológicas de X coincidan exactamente con las heredadas de su imagen en Y.

Demostración

La inclusión del círculo S^1 como el círculo unidad en R^2 es una inmersión topológica: la aplicación de inclusión es inyectiva y continua y su inversa desde la imagen (con la topología de subespacio) es continua, por lo que S^1 es homeomorfo a su imagen.

Aplicación incorrecta

Calificar toda aplicación continua inyectiva como inmersión sin comprobar que es un homeomorfismo sobre su imagen —una aplicación inyectiva continua puede fallar en que la inversa sea continua si la imagen tiene una topología de subespacio más burda—, o confundir inmersión topológica con inmersión suave en el contexto diferencial.

Consecuencia

Cuando una aplicación es una inmersión topológica, puede tratarse el dominio como un subespacio del codominio y transferir invariantes topológicos locales y globales; además se pueden aplicar construcciones y teoremas dependientes del inmersión (por ejemplo, resultados sobre vecindades tubulares en contextos de variedades con estructura adicional).

Inversión

La noción opuesta es una sobreyección continua o aplicación cociente que identifica puntos en lugar de embeberlos: tales aplicaciones suelen destruir propiedades de separación y no permiten considerar el dominio como un subespacio topológico del codominio.

Límite

Depende de la topología del codominio: las inmersiones pueden tener imagen no cerrada y, en ciertos contextos, se exigen condiciones adicionales (inmersión cerrada, propia o suave) que son más fuertes; la propiedad de ser inmersión corresponde a la aplicación y no únicamente a la pareja de espacios.

Tensión semántica

Hay tensión entre inmersión, homeomorfismo e inmersión diferenciable: un homeomorfismo es una inmersión biyectiva cuya inversa es continua en todo el codominio, mientras que una inmersión (en la topología diferencial) se refiere a derivadas y no tiene por qué ser inyectiva ni conservar la topología; importa el contexto preciso.

Síntesis

Una inmersión topológica es una aplicación continua inyectiva que identifica el dominio con un subespacio del codominio mediante un homeomorfismo sobre su imagen, permitiendo ver la fuente como insertada en la diana preservando su topología.