Eine injektive stetige Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen, so dass f ein Homöomorphismus auf ihr Bild f(X) mit der von Y induzierten Untermengen-Topologie ist; äquivalent dazu ist X topologisch mit der Teilmenge f(X) von Y identifiziert.

Prinzip

Sowohl punktweise Injektivität als auch die Erhaltung der intrinsischen Topologie sicherstellen: Die Abbildung muss nicht nur injektiv und stetig sein, sondern offene bzw. abgeschlossene Mengen so abbilden, dass die topologischen Eigenschaften von X genau denen seines Bildes in Y entsprechen.

Demonstration

Die Inklusion des Kreises S^1 als Einheitskreis in R^2 ist eine topologische Einbettung: die Inklusionsabbildung ist injektiv und stetig und ihre Umkehrabbildung vom Bild (mit der Teilraumtopologie) ist stetig, sodass S^1 homöomorph zum Bild ist.

Fehlanwendung

Jede injektive stetige Abbildung ohne Prüfung der Umkehrstetigkeit als Einbettung zu bezeichnen; injektive stetige Abbildungen können scheitern, Homöomorphismen auf ihr Bild zu sein (z. B. wenn das Bild eine streng gröbere Teilraumtopologie hat), oder Einbettung mit Immersion in der differenziellen Kategorie zu verwechseln.

Konsequenz

Ist eine Abbildung eine Einbettung, so kann der Definitionsbereich als Teilraum des Zielraums betrachtet werden und lokale wie globale topologische Invarianten übertragen werden; außerdem können einbettungsabhängige Sätze angewandt werden (z. B. Röhrchennachbarschaftssätze bei differenzierbaren Strukturen).

Umkehrung

Die entgegengesetzte Vorstellung ist eine stetige Surjektion oder eine Quotientenabbildung, die Punkte identifiziert statt einzubetten: solche Abbildungen zerstören oft Trennungseigenschaften und erlauben nicht, den Definitionsbereich als topologischen Teilraum des Zielraums zu betrachten.

Abgrenzung

Hängt von der Topologie des Zielraums ab: Einbettungen können nicht-geschlossene Bilder haben; in manchen Kontexten sind stärkere Bedingungen (geschlossene Einbettung, richtige Einbettung, glatte Einbettung) erforderlich; Einbettung ist eine Eigenschaft der Abbildung, nicht allein der Raum-Paarung.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen Einbettung, Homöomorphismus und Immersion: Ein Homöomorphismus ist eine bijektive Einbettung mit stetiger Umkehr auf dem ganzen Zielraum, während eine Immersion (in der Differentialtopologie) die Ableitungen betrifft und nicht notwendigerweise injektiv oder topologieerhaltend sein muss; der genaue Kontext ist entscheidend.

Synthese

Eine topologische Einbettung ist eine injektive stetige Abbildung, die den Definitionsbereich durch einen Homöomorphismus mit einem Teilraum des Zielraums identifiziert und es damit ermöglicht, die Quelle als in die Zielmenge eingebettet und in ihrer Topologie unverändert zu betrachten.