Un subconjunto E del espacio euclidiano (o del borde de un dominio) que no satisface una condición de grosor de tipo Wiener en un punto x, es decir, E es 'delgado en x' en términos de teoría del potencial y permite un comportamiento excepcional (irregular) de funciones armónicas en x.

Principio

Los criterios de tipo Wiener caracterizan la regularidad de puntos de la frontera para el problema de Dirichlet midiendo la capacidad agregada del complemento cerca del punto; la delgadez indica masa o capacidad circundante insuficiente para controlar la aproximación armónica y por tanto puede generar comportamiento de frontera irregular.

Demostración

Una punta estrecha o una sucesión de cavidades cada vez más pequeñas que se acumulan en un punto del borde puede hacer que el complemento satisfaga la condición de delgadez en ese punto; ejemplos planos muestran que funciones armónicas pueden no alcanzar valores de frontera prescritos en puntos delgados.

Aplicación incorrecta

Confundir la delgadez con pequeñez medida-teórica como medida de Lebesgue cero; un conjunto puede tener medida cero y aun así ser 'grueso' desde el punto de vista potencial, o viceversa presentar medida positiva pero ser delgado en un punto dado dependiendo de la distribución de la capacidad.

Consecuencia

Conjuntos delgados en un punto permiten la existencia de puntos de frontera irregulares para el problema de Dirichlet: las funciones armónicas pueden no tener los límites de borde esperados allí, y desde la interpretación probabilística el movimiento browniano puede evitar golpear ciertas configuraciones delgadas con probabilidad positiva.

Inversión

Conjunto grueso (o punto donde el conjunto no es delgado): aquel que satisface la condición de tipo Wiener, asegurando comportamiento regular en la frontera y la validez de las conclusiones usuales del problema de Dirichlet en ese punto.

Límite

Se aplica en teoría del potencial en dominios euclidianos o variedades riemannianas y es una noción local en un punto; se distingue de propiedades fractales o de medida globales y depende de la capacidad y de la disposición geométrica precisa cerca del punto.

Tensión semántica

La tensión es entre nociones analíticas/potencial-teóricas (capacidad, criterio de Wiener) y nociones geométricas o de medida (longitud, área, dimensión de Hausdorff); la delgadez es una pequeñez local refinada en sentido potencial que puede no coincidir con métricas de medida ordinarias.

Síntesis

Un conjunto delgado es aquel que carece de suficiente grosor potencial en un punto (falla un criterio de tipo Wiener), permitiendo irregularidades de frontera para funciones armónicas y reflejando una deficiencia local de capacidad más que mera pequeñez medida o topológica.