Eine Teilmenge E des euklidischen Raumes (oder des Randes eines Gebietes), die eine Wiener-ähnliche Dickheitsbedingung in einem Punkt x nicht erfüllt; das heißt, E ist in Potentialtheoretischer Hinsicht in x 'dünn' und erlaubt damit außergewöhnliches (irreguläres) Verhalten harmonischer Funktionen bei x.

Prinzip

Wiener-artige Kriterien charakterisieren die Regularität von Randpunkten für das Dirichlet-Problem durch Messung der aggregierten Kapazität des Komplements in der Nähe des Punktes; Dünnheit zeigt eine unzureichende umgebende Masse oder Kapazität an, die die harmonische Annäherung nicht kontrolliert und so zu irregulärem Randverhalten führt.

Demonstration

Eine schmale Spitze oder eine Folge immer kleinerer Hohlräume, die an einen Randpunkt akkumulieren, kann dazu führen, dass das Komplement die Dünnheitsbedingung in diesem Punkt erfüllt; konkrete ebene Beispiele zeigen, dass harmonische Funktionen an dünnen Punkten Randwerte nicht wie erwartet annehmen müssen.

Fehlanwendung

Dünnheit mit maßtheoretischer Kleingkeit wie Lebesgue-Maß null zu verwechseln; eine Menge kann Lebesgue-Nullmaß haben und dennoch im potentialtheoretischen Sinn dick sein, oder umgekehrt positive Maßdichte und dennoch in einem Punkt dünn sein, abhängig von der Verteilung der Kapazität.

Konsequenz

Dünne Mengen in einem Punkt erlauben das Auftreten irregulärer Randpunkte für das Dirichlet-Problem: Harmonische Funktionen können dort keine erwarteten Randgrenzwerte besitzen, und probabilistisch kann Brown'sche Bewegung bestimmte dünne Konfigurationen mit positiver Wahrscheinlichkeit meiden.

Umkehrung

Eine dicke Menge (oder ein Punkt, an dem die Menge nicht dünn ist): eine Menge, die die Wiener-ähnliche Bedingung erfüllt und damit reguläres Randverhalten sowie die üblichen Schlussfolgerungen des Dirichlet-Problems in diesem Punkt sichert.

Abgrenzung

Gilt in der Potentialtheorie für euklidische Gebiete oder riemannsche Mannigfaltigkeiten und ist eine lokale Eigenschaft in einem Punkt; sie unterscheidet sich von globalen fraktalen oder maßbezogenen Eigenschaften und hängt von Kapazität und der exakten geometrischen Anordnung in der Umgebung des Punktes ab.

Semantische Spannung

Die Spannung besteht zwischen analytisch/potentialtheoretischen Begriffen (Kapazität, Wiener-Kriterium) und geometrischen oder maßbezogenen Begriffen (Länge, Fläche, Hausdorff-Dimension); Dünnheit ist eine verfeinerte lokale smallness im potentialtheoretischen Sinn, die nicht mit gewöhnlichen Maßmetriken übereinstimmen muss.

Synthese

Eine dünne Menge ist eine Menge, die an einem Punkt an potentialtheoretischer Dicke fehlt (sie erfüllt kein Wiener-ähnliches Kriterium) und so Randirregularitäten für harmonische Funktionen ermöglicht; sie spiegelt eher einen lokalen Kapazitätsmangel als bloße Maß- oder Topologiekleinheit wider.