Un entero positivo igual a la suma de sus divisores propios positivos (divisores excluyendo al número mismo).

Principio

Se caracteriza por la función suma de divisores σ satisfaciendo σ(n) = 2n, de modo que la suma de divisores propios s(n) = n; organiza una clase de enteros con un equilibrio exacto entre las partes y el todo.

Demostración

Ejemplos son 6 (1+2+3), 28 (1+2+4+7+14) y 496. Los números perfectos pares son exactamente los de la forma 2^{p−1}(2^{p}−1) donde 2^{p}−1 es primo; la existencia de números perfectos impares sigue siendo desconocida.

Aplicación incorrecta

Incluir el número en sí entre los divisores propios, llamando así perfecta a la 1, o tratar aproximaciones (cuasi-perfectos o números perfectamente multiplicados) como perfectos sin la igualdad exacta.

Consecuencia

Los números perfectos enlazan la aritmética de divisores con la estructura de primos (a través de los primos de Mersenne) y proporcionan objetivos concretos para clasificación y búsqueda computacional; una prueba sobre la existencia de un impar resolvería una pregunta histórica.

Inversión

Las nociones inversas son números abundantes (la suma de divisores propios excede n) y deficientes (la suma es menor que n), que miden el desequilibrio en direcciones opuestas.

Límite

Restringido a enteros positivos; exige igualdad exacta entre n y la suma de sus divisores propios. Excluye números abundantes, deficientes, cuasi-perfectos (hipotéticos) y números multiplicativamente perfectos a menos que cumplan la igualdad.

Tensión semántica

En tensión con números multiplicativamente perfectos (donde σ(n) es un múltiplo de n) y con aproximaciones como cuasi-perfectos; la tensión está entre el equilibrio exacto y equilibrios aproximados o escalados de la suma de divisores.

Síntesis

Un número perfecto es un entero positivo cuyos divisores propios suman exactamente el número mismo, un equilibrio aritmético raro ligado en los casos pares a los primos de Mersenne y en los impares a una cuestión no resuelta.