Eine positive ganze Zahl, die gleich der Summe ihrer echten positiven Teiler (ohne die Zahl selbst) ist.

Prinzip

Charakterisiert durch die Teilersummfunktion σ mit σ(n) = 2n, also ist die Summe der echten Teiler s(n) = n; ordnet eine Klasse von Zahlen mit exakt ausgeglichenen Teilen und Ganzen.

Demonstration

Beispiele sind 6 (1+2+3), 28 (1+2+4+7+14) und 496. Gerade vollkommene Zahlen sind genau die der Form 2^{p−1}(2^{p}−1), wobei 2^{p}−1 prim ist; das Vorkommen ungerader vollkommener Zahlen ist ungeklärt.

Fehlanwendung

Die Zahl selbst als echten Teiler zählen und so etwa 1 als perfekt bezeichnen, oder nahe Gleichheiten (Quasi- oder mehrfache vollkommene Zahlen) ohne die exakte Gleichheitsbedingung als perfekt ansehen.

Konsequenz

Vollkommene Zahlen verbinden die Teilerarithmetik mit der Primstruktur (über Mersenne-Primzahlen) und bieten konkrete Ziele für Klassifikation und computergestützte Suche; ein Beweis über ungerade vollkommene Zahlen würde eine lange offene Frage klären.

Umkehrung

Umkehrbegriffe sind üppige (abundant) Zahlen, bei denen die echten Teiler die Zahl übersteigen, und mangelhafte (defiziente) Zahlen, bei denen die Summe kleiner ist; sie messen Ungleichgewicht in gegensätzlicher Richtung.

Abgrenzung

Beschränkt auf positive ganze Zahlen; verlangt exakte Gleichheit zwischen n und der Summe seiner echten Teiler. Schließt üppige, defiziente, quasi-vollkommene (hypothetische) und mehrfache vollkommene Zahlen aus, sofern sie die Gleichheit nicht erfüllen.

Semantische Spannung

Im Spannungsfeld zu mehrfach vollkommenen Zahlen (σ(n) ist ein Vielfaches von n) und zu Näherungen wie quasi-vollkommene Zahlen; die Spannung liegt zwischen exaktem Ausgleich und approximativen oder skalierten Ausgleichen der Teilersumme.

Synthese

Eine vollkommene Zahl ist eine positive ganze Zahl, deren echte Teiler sich exakt zur Zahl selbst addieren; ein seltenes arithmetisches Gleichgewicht, das bei geraden Fällen mit Mersenne-Primzahlen verknüpft ist und bei ungeraden Fällen ungelöst bleibt.