La diferencia entera positiva g_n = p_{n+1} − p_n entre dos números primos sucesivos p_n y p_{n+1}; una medida local de la separación entre primos consecutivos.

Principio

Las diferencias entre primos reflejan la distribución de los primos: la diferencia media crece como log p por el teorema de los primos, mientras que el comportamiento local está regido por restricciones de cribado, modelos probabilísticos y estructura aritmética, que permiten tanto pequeñas diferencias (primos gemelos) como diferencias arbitrariamente grandes.

Demostración

Ejemplos: entre 7 y 11 la diferencia es 4; entre 89 y 97 la diferencia es 8. La diferencia media cerca de x es aproximadamente log x; p. ej. alrededor de x≈100, log x≈4,6, coherente con las diferencias observadas localmente.

Aplicación incorrecta

Tratar las diferencias como una función monótonamente creciente en p, o asumir que una pequeña diferencia media impide la existencia de grandes diferencias; usar modelos probabilísticos como predicciones exactas en vez de heurísticas.

Consecuencia

Comprender las diferencias informa conjeturas (primos gemelos, acotación de diferencias), pruebas sobre la distribución de primos y estimaciones prácticas para localizar primos y generar primos en criptografía; resultados sobre diferencias grandes o acotadas tienen importantes implicaciones teóricas.

Inversión

Contrastarlo estudiando cúmulos o constelaciones de primos (patrones de pequeñas diferencias) que enfatizan la cercanía local en lugar de la separación; la inversión también contempla las diferencias máximas en intervalos en lugar de las mínimas.

Límite

Definido solo para pares de primos consecutivos en la sucesión de primos (incluyendo la diferencia tras el 2); excluye diferencias entre primos no consecutivos; las afirmaciones asintóticas suponen primos lo bastante grandes para que aplique el teorema de los primos.

Tensión semántica

Tensión entre el crecimiento medio global (logarítmico) y las fuertes fluctuaciones locales (diferencias arbitrariamente grandes frente a frecuentes pequeñas diferencias), y entre modelos probabilísticos que predicen comportamiento típico y construcciones deterministas que producen extremos.

Síntesis

Una diferencia entre primos es la distancia local entre primos sucesivos que compagina un crecimiento medio logarítmico con variaciones locales irregulares; es tanto una estadística medible de la distribución de primos como un objeto central en conjeturas profundas y ejemplos constructivos.