Die positive ganze Zahl g_n = p_{n+1} − p_n zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen p_n und p_{n+1}; ein lokales Maß für den Abstand benachbarter Primzahlen.

Prinzip

Primzahllücken spiegeln die Verteilung der Primzahlen wider: der durchschnittliche Abstand wächst wie log p (Satz der Primzahlen), während das lokale Verhalten durch Siebbeschränkungen, probabilistische Modelle und arithmetische Strukturen bestimmt wird, die sowohl kleine Lücken (Zwillingsprimzahlen) als auch beliebig große Lücken erlauben.

Demonstration

Beispiele: zwischen 7 und 11 ist die Lücke 4; zwischen 89 und 97 ist die Lücke 8. Der durchschnittliche Abstand nahe x ist ungefähr log x; z. B. für x≈100 ist log x≈4,6, was mit lokalen Beobachtungen konsistent ist.

Fehlanwendung

Primzahllücken als monoton wachsend in p ansehen oder aus einem kleinen mittleren Abstand schließen, dass lange Lücken unmöglich sind; probabilistische Modelle als exakte Vorhersagen statt als Heuristiken fehlinterpretieren.

Konsequenz

Das Verständnis von Lücken beeinflusst Vermutungen (Zwillingsprimzahlen, beschränkte Lücken), Beweise zur Primverteilung und praktische Abschätzungen zur Primfindung und kryptographischen Prim‑Generierung; Aussagen über große oder beschränkte Lücken haben weitreichende theoretische Folgen.

Umkehrung

Gegenüberstellung durch Untersuchung von Primzahlkonstellationen oder Clustern (Muster kleiner Lücken), die lokale Nähe statt Abstand betonen; die Umkehrung betrachtet maximale Lücken über Intervalle statt minimale.

Abgrenzung

Definiert nur für aufeinanderfolgende Primpaare in der Primfolge (einschließlich der Lücke nach 2); schließt nicht‑konsecutive Primdifferenzen aus; asymptotische Aussagen setzen ausreichend große Primzahlen voraus, sodass der Primzahlsatz gilt.

Semantische Spannung

Spannung zwischen globalem mittlerem Wachstum (logarithmisch) und starken lokalen Schwankungen (beliebig große Lücken vs häufig kleine Lücken) sowie zwischen probabilistischen Modellen für typisches Verhalten und deterministischen Konstruktionen extremer Lücken.

Synthese

Eine Primzahllücke ist die lokale Differenz benachbarter Primzahlen, die ein durchschnittliches logarithmisches Wachstum mit unregelmäßigen lokalen Abweichungen verbindet; sie ist zugleich messbare Statistik der Primverteilung und ein zentrales Objekt tiefgehender Vermutungen und konstruktiver Beispiele.