El Theorema Egregium de Gauss afirma que la curvatura gaussiana de una superficie suave es una invariante intrínseca determinada completamente por la primera forma fundamental (la métrica inducida sobre la superficie); en particular, la curvatura gaussiana se preserva bajo isometrías locales (doblados sin estiramiento).

Principio

Curvatura determinada intrínsecamente: la curvatura gaussiana depende únicamente de cantidades métricas calculables desde la primera forma fundamental y no del modo en que la superficie está incrustada en el espacio.

Demostración

El ejemplo clásico es el cilindro: el plano y un cilindro circular recto son localmente isométricos (el cilindro se obtiene doblando el plano) y ambos tienen curvatura gaussiana cero. El cálculo de la curvatura a partir de la primera forma fundamental da el mismo valor independientemente de la incrustación.

Aplicación incorrecta

Suponer que otras medidas de curvatura son intrínsecas —por ejemplo la curvatura media es extrínseca y cambia en general bajo isometría— o aplicar el teorema sin la regularidad necesaria (requiere diferenciabilidad suficiente de la métrica).

Consecuencia

Muestra que doblar una superficie sin estirarla no puede cambiar la curvatura gaussiana, lo que restringe las posibles incrustaciones isométricas y sustenta fenómenos de rigidez y flexibilidad en la teoría de superficies; conduce asimismo a resultados de clasificación intrínseca de superficies.

Inversión

La inversión contrasta nociones intrínsecas y extrínsecas: mientras la curvatura gaussiana es invariante por isometrías locales, las curvaturas extrínsecas (curvatura media, curvatura normal) varían en general con la incrustación; así, la inversión muestra qué propiedades no son preservadas por el doblado.

Límite

Requiere una métrica riemanniana bidimensional suave (al menos C^2) sobre la superficie y isometrías locales; no se aplica a métricas con regularidad insuficiente, superficies discretas sin un límite apropiado ni a nociones de curvatura distintas de la gaussiana.

Tensión semántica

Crea tensión con nociones de curvatura extrínseca y con declaraciones topológicas globales: la curvatura gaussiana es un invariante diferencial intrínseco, pero la curvatura integrada se relaciona con la topología vía el teorema de Gauss‑Bonnet, vinculando datos métricos locales con la topología global.

Síntesis

El Theorema Egregium afirma que la curvatura gaussiana es una invariante métrica intrínseca determinada por la primera forma fundamental; separa lo que del doblado pertenece puramente a la métrica interna de lo que depende de la incrustación.