Das Theorema Egregium von Gauss besagt, dass die Gaußsche Krümmung einer glatten Fläche eine intrinsische Invariante ist, die vollständig durch die erste Fundamentalform (die auf der Fläche induzierte Metrik) bestimmt wird; insbesondere bleibt die Gaußsche Krümmung unter lokalen Isometrien (Biegungen ohne Dehnung) erhalten.

Prinzip

Krümmung rein intrinsisch bestimmt: Die Gaußsche Krümmung hängt nur von metrischen Größen ab, die aus der ersten Fundamentalform berechenbar sind, nicht von der Einbettung der Fläche im Raum.

Demonstration

Das klassische Beispiel ist der Zylinder: Ebene und gerader Kreiszylinder sind lokal isometrisch (der Zylinder entsteht durch Abwickeln der Ebene) und besitzen beide Gaußsche Krümmung null. Eine Berechnung aus der ersten Fundamentalform liefert denselben Wert unabhängig von der Einbettung.

Fehlanwendung

Zu glauben, andere Krümmungsmaße seien intrinsisch — etwa die mittlere Krümmung ist extrinsisch und ändert sich im Allgemeinen unter Isometrien — oder den Satz ohne ausreichende Glattheit anzuwenden (er verlangt genügend Differenzierbarkeit der Metrik).

Konsequenz

Zeigt, dass Biegungen ohne Dehnung die Gaußsche Krümmung nicht verändern können, was die möglichen isometrischen Einbettungen einschränkt und Phänomene von Starrheit und Flexibilität in der Flächentheorie erklärt; führt zu intrinsischen Klassifikationsresultaten für Flächen.

Umkehrung

Die Umkehrung kontrastiert intrinsische und extrinsische Begriffe: Während die Gaußsche Krümmung unter lokalen Isometrien invariant ist, ändern extrinsische Krümmungen (mittlere Krümmung, Normalenkrümmung) im Allgemeinen die Werte; damit wird deutlich, welche Eigenschaften vom Einbettungstyp abhängig sind.

Abgrenzung

Voraussetzung ist eine glatte zweidimensionale Riemannsche Metrik (mindestens C^2) auf einer Fläche und lokale Isometrien; gilt nicht für Metriken mit unzureichender Regularität, diskrete Flächen ohne sinnvollen Grenzprozess oder andere Krümmungsbegriffe außerhalb der Gaußschen Krümmung.

Semantische Spannung

Erzeugt Spannung gegenüber extrinsischen Krümmungsbegriffen und globalen topologischen Aussagen: Die Gaußsche Krümmung ist ein intrinsisches differentiales Invariante, doch die integrierte Krümmung verbindet sich durch den Gauß‑Bonnet‑Satz mit der Topologie und verknüpft so lokale metrische und globale topologische Daten.

Synthese

Das Theorema Egregium besagt, dass die Gaußsche Krümmung eine intrinsische Metrikinvariante ist, die durch die erste Fundamentalform bestimmt wird; es trennt damit die rein metrischen Aspekte des Biegens von jenen, die von der Einbettung abhängen.