Dado un conjunto convexo K que contiene el origen, el funcional de Minkowski (jauge) p_K(x) se define como el ínfimo de λ>0 tales que x∈λK; mide la dilatación escalar necesaria para incluir un vector en K y generaliza la noción de norma cuando K es equilibrado y absorbente.

Principio

p_K es positiva homogénea de grado uno y subaditiva (por tanto una seminorma) precisamente cuando K es convexo y 0 es un punto interior; la simetría de K convierte p_K en una norma. El funcional codifica la geometría de K transformando la pertenencia a K en la desigualdad escalar p_K(x)≤1.

Demostración

Si K es la bola euclídea unidad entonces p_K es la norma euclídea. Para un conjunto convexo asimétrico K la jauge es una 'norma' asimétrica que da valores distintos en direcciones opuestas; para un politopo p_K(x) se calcula por programación lineal como el escalar mínimo para representar x como combinación convexa de vértices escalados por λ.

Aplicación incorrecta

Asumir que p_K es una norma sin comprobar que K es simétrico respecto al origen o que 0 está en el interior; aplicar la desigualdad triangular cuando K no es convexo o no absorbente, lo que invalida la subaditividad o la finitud.

Consecuencia

Proporciona una manera natural de inducir topologías y seminormas a partir de conjuntos convexos, comparar cuerpos mediante p_K y relacionarse con objetos duales mediante conjuntos polares y funciones de soporte; es central en análisis convexo y en representaciones funcionales de la geometría.

Inversión

La función de soporte es dual en espíritu: mientras p_K mide cuánto debe dilatarse K para contener x, la función de soporte mide proyecciones máximas. La polaridad intercambia funcionales de Minkowski y funciones de soporte entre cuerpos primales y duales, invirtiendo relaciones de inclusión.

Límite

Bien comportado sólo si K es convexo, absorbente (0 interior) y cerrado; si 0∉int K, p_K puede ser infinito en direcciones fuera del cono generado por K. Para K no convexo la función no tiene por qué ser subaditiva ni continua.

Tensión semántica

A menudo se confunde con normas o con funciones de soporte; a diferencia de una norma, el funcional de Minkowski puede ser asimétrico y tomar valores infinitos a menos que K cumpla las hipótesis estándar de interioridad y convexidad.

Síntesis

El funcional de Minkowski es la jauge escalar positivamente homogénea inducida por un conjunto convexo que mide la dilatación necesaria para incluir un vector; bajo las hipótesis habituales de convexidad e interioridad se convierte en una seminorma o norma y conecta la geometría de conjuntos con estructuras analíticas como la dualidad y la topología.