Gegeben eine konvexe Menge K, die den Ursprung enthält, ist das Minkowski-Funktional (Gauge) p_K(x) definiert als das Infimum aller λ>0 mit x∈λK; es misst die skalare Dilatation, die nötig ist, um einen Vektor in K aufzunehmen, und verallgemeinert den Begriff einer Norm, wenn K ausgeglichen und absorbierend ist.

Prinzip

p_K ist positiv homogen vom Grad eins und genau dann subadditiv (also eine Seminorm), wenn K konvex ist und 0 ein Innereslement ist; die Symmetrie von K macht p_K zu einer Norm. Das Funktional kodiert die Geometrie von K, indem Mengenmitgliedschaft in eine skalare Ungleichung p_K(x)≤1 übersetzt wird.

Demonstration

Ist K die euklidische Einheitskugel, so ist p_K die euklidische Norm. Für eine asymmetrische konvexe Menge K ist die Gauge eine asymmetrische 'Norm', die in entgegengesetzten Richtungen unterschiedliche Werte liefert; für ein Polytope lässt sich p_K(x) mittels linearer Programmierung als minimaler Skalar berechnen, mit dem x als konvexe Kombination der Eckpunkte skaliert dargestellt werden kann.

Fehlanwendung

Annehmen, p_K sei eine Norm ohne zu prüfen, dass K symmetrisch um den Ursprung ist oder 0 im Inneren liegt; die Dreiecksungleichung anwenden, wenn K nicht konvex oder nicht absorbierend ist, was Subadditivität oder Endlichkeit zerstört.

Konsequenz

Ermöglicht es, Topologien und Seminormen natürlich aus konvexen Mengen abzuleiten, Körper mittels p_K zu vergleichen und über polare Mengen und Stützfunktionen zu dualen Objekten in Beziehung zu setzen; zentral in der konvexen Analysis und funktionalen Darstellung geometrischer Objekte.

Umkehrung

Die Stützfunktion ist im Geiste dual: während p_K misst, wie sehr K dilatiert werden muss, um x zu enthalten, misst die Stützfunktion maximale Projektionen. Polarität vertauscht Minkowski-Funktionale und Stützfunktionen zwischen primalen und dualen Körpern und kehrt Inklusionsrelationen um.

Abgrenzung

Gutartig nur, wenn K konvex, absorbierend (0 im Inneren) und abgeschlossen ist; falls 0∉int K kann p_K in manchen Richtungen unendlich sein. Für nicht-konvexe K muss die Funktion nicht subadditiv oder stetig sein.

Semantische Spannung

Wird oft mit Normen oder Stützfunktionen verwechselt; im Gegensatz zu einer Norm kann das Minkowski-Funktional asymmetrisch sein und unendliche Werte annehmen, sofern K nicht die Standard-Interioreigenschaften erfüllt.

Synthese

Das Minkowski-Funktional ist die positiv homogene Skalenjauge, die durch eine konvexe Menge induziert wird und misst, wie stark ein Vektor dilatiert werden muss, um in die Menge zu gelangen; unter üblichen Konvexitäts- und Interiortaspekten wird es zur Seminorm oder Norm und verbindet Mengengeometrie mit analytischen Strukturen wie Dualität und Topologie.