Una identidad fundamental del análisis complejo que establece que si f es holomorfa en un abierto que contiene una curva cerrada γ y su interior, entonces para cualquier punto a dentro de γ, f(a) = (1/2πi) ∮_γ f(z)/(z−a) dz, y más generalmente f^(n)(a) = n!/(2πi) ∮_γ f(z)/(z−a)^{n+1} dz. Esto expresa valores y derivadas mediante integrales de contorno.

Principio

La holomorfía implica representaciones integrales locales: los valores y derivadas en puntos interiores quedan determinados por integrales de contorno alrededor de esos puntos, reflejando continuidad analítica y rigidez.

Demostración

Tomar f(z)=1 y γ el círculo unidad; la integral de 1/(z−a) alrededor de γ da 2πi cuando a está dentro y 0 cuando está fuera, recuperando la fórmula. Para un f holomorfo general se calcula f(a) integrando f(z)/(z−a) en un pequeño círculo alrededor de a.

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula cuando f no es holomorfa en el interior de γ, cuando γ no está cerrada o no tiene la orientación correcta, o cuando el integrando tiene singularidades interiores distintas al polo simple en z=a.

Consecuencia

Corolarios inmediatos: analiticidad (las funciones holomorfas coinciden con su serie de Taylor), estimaciones de Cauchy para derivadas, el teorema de Liouville y la base del cálculo de residuos y muchos resultados de unicidad.

Inversión

El teorema de Morera actúa como una especie de recíproca: si todas las integrales de contorno cerradas de una función continua se anulan en un dominio, la función es holomorfa. Sin embargo, la anulación de integrales particulares alrededor de una sola curva no basta.

Límite

Requiere que f sea holomorfa en y dentro de la curva (o al menos continua en la curva cerrada y holomorfa en el interior) y que γ sea una curva cerrada simple orientada positivamente; las singularidades en el interior invalidan la fórmula directa salvo que se traten mediante residuos.

Tensión semántica

Relación cercana con el teorema de los residuos y con representaciones integrales para funciones meromorfas; hay que distinguir la reconstrucción local explícita de valores de técnicas integrales más amplias que manejan polos y cortes de rama.

Síntesis

La fórmula integral de Cauchy convierte la holomorfía en representaciones integrales explícitas de valores y derivadas: conocer una función holomorfa en una curva determina su comportamiento interior, conduciendo a la analyticidad, cotas para derivadas y muchas consecuencias estructurales.