Eine fundamentale Identität der komplexen Analysis: Ist f holomorph auf einer offenen Menge, die eine geschlossene Kurve γ und ihr Inneres enthält, so gilt für jeden Punkt a im Inneren von γ f(a) = (1/2πi) ∮_γ f(z)/(z−a) dz, und allgemein f^(n)(a) = n!/(2πi) ∮_γ f(z)/(z−a)^{n+1} dz. Damit werden Werte und Ableitungen durch Randintegrale ausgedrückt.

Prinzip

Holomorphie impliziert lokale Integraldarstellungen: Werte und Ableitungen an inneren Punkten werden durch Umlaufintegrale um diese Punkte bestimmt, was analytische Fortsetzung und Starrheit widerspiegelt.

Demonstration

Für f(z)=1 und γ = Einheitskreis liefert das Integral von 1/(z−a) über γ 2πi, falls a innen liegt, sonst 0, womit die Formel verifiziert ist. Für allgemeines holomorphes f berechnet man f(a) durch Integration von f(z)/(z−a) über einen kleinen Kreis um a.

Fehlanwendung

Anwendung der Formel wenn f nicht holomorph im Inneren von γ ist, γ nicht geschlossen oder falsch orientiert ist, oder wenn das Integranden weitere Singularitäten im Inneren hat außer dem einfachen Pol bei z=a.

Konsequenz

Unmittelbare Folgerungen sind Analytizität (holomorphe Funktionen stimmen mit ihrer Taylorreihe überein), Cauchy‑Abschätzungen für Ableitungen, Liouvilles Satz sowie die Grundlage für die Residuentheorie und zahlreiche Eindeutigkeitsaussagen.

Umkehrung

Morera's Satz ist eine Art Umkehrung: Wenn alle geschlossenen Kurvenintegrale einer stetigen Funktion auf einem Gebiet verschwinden, ist die Funktion holomorph. Das Verschwinden einzelner Integrale um eine Kurve genügt jedoch nicht.

Abgrenzung

Setzt voraus, dass f auf und im Inneren der Kurve holomorph ist (oder mindestens auf der abgeschlossenen Kurve stetig und innen holomorph) und γ eine positiv orientierte einfache geschlossene Kurve ist; Singularitäten im Inneren machen die direkte Formel ungültig, sofern sie nicht durch Residuen berücksichtigt werden.

Semantische Spannung

Enge Beziehungen zum Residuensatz und zu Integraldarstellungen meromorpher Funktionen; zu unterscheiden ist die lokale Rekonstruktion von Werten durch Cauchy von weiterreichenden Integraltechniken, die Pole und Verzweigungsschnitte behandeln.

Synthese

Die Cauchysche Integrationsformel wandelt Holomorphie in explizite Umlaufintegral‑Darstellungen von Funktionswerten und Ableitungen um: Die Kenntnis einer holomorphen Funktion auf einer Schleife bestimmt ihr inneres Verhalten und liefert Analytizität, Ableitungsschranken und viele strukturelle Konsequenzen.