Sobre un conjunto A, un clon es un conjunto C de operaciones finitas (finitarias) en A que contiene todas las proyecciones y está cerrado bajo composición (sustitución): componer operaciones de C (con aridades compatibles) produce una operación en C. En abstracto, los clonos codifican todas las operaciones de términos definibles a partir de una determinada firma sobre ese portador.

Principio

Cierre bajo composición y presencia de proyecciones son las propiedades definitorias: las proyecciones representan variables, la composición implementa la sustitución de términos, y juntas describen exactamente las operaciones obtenibles mediante formación finita de términos.

Demostración

En una álgebra booleana, el conjunto de todas las funciones booleanas (sobre {0,1}) forma un clon; ejemplos más refinados son los clonos de operaciones polinómicas de un álgebra dada (todas las operaciones expresables por términos). El clon generado por un conjunto de operaciones básicas es el menor que las contiene y se describe por composiciones iteradas y proyecciones.

Aplicación incorrecta

Llamar clon a cualquier conjunto de operaciones sin comprobar las condiciones de cierre, confundir clonos con monoides de transformaciones (que pueden no incluir proyecciones o admitir aridades fijas), o asumir cierre frente a composiciones infinitarias cuando sólo se permiten composiciones finitas.

Consecuencia

Los clonos sirven como invariantes algebraicos de teorías ecuacionales: el clon de operaciones de término determina la teoría ecuacional de una estructura y clasifica las operaciones definibles. Estudiar clonos produce resultados de clasificación (el retículo de Post en el caso booleano) y conecta descripciones sintácticas con cierres semánticos.

Inversión

Una familia de operaciones que no está cerrada bajo composición o que omite proyecciones no es un clon; eliminar proyecciones o el cierre por composición rompe la relación con la formación de términos y da lugar a objetos algebraicos más débiles (conjuntos de operaciones u operadAs con axiomas distintos).

Límite

Los clonos tratan operaciones finitas sobre un portador fijo; excluyen operaciones infinitarias o relaciones y requieren la presencia de todas las proyecciones. Otros marcos usan nociones afines (operads, monoides de transformaciones) con diferentes restricciones de aridad o simetría.

Tensión semántica

Tensión entre clon, operadA y monoide de transformaciones: las operads enfatizan composición indexada por aridad, a menudo sin proyecciones; los monoides de transformaciones se centran en composiciones unarias. Los clonos ocupan una posición intermedia al enfatizar sustitución y formación de términos multiaridad.

Síntesis

Un clon de operaciones en un conjunto es el cierre, por sustitución e inclusión de proyecciones, de una familia de operaciones finitas; captura exactamente las operaciones realizables formando términos a partir de primitivas dadas y, por tanto, codifica la capacidad expresiva ecuacional del álgebra.