Auf einer Menge A ist ein Klon eine Sammlung C finiter Operationen auf A, die alle Projektionen enthält und unter Komposition (Substitution) abgeschlossen ist: das Komponieren von Operationen aus C (mit passenden Stelligkeiten) ergibt wieder eine Operation in C. Abstrakt kodieren Klone alle termal erzeugten Operationen einer Signatur auf demselben Träger.

Prinzip

Abschluss unter Komposition und Vorhandensein der Projektionen sind die definierenden Eigenschaften: Projektionen repräsentieren Variablen, Komposition realisiert Termsubstitution, und zusammen erfassen sie genau die durch endliche Termbildung erreichbaren Operationen.

Demonstration

Für eine boolesche Algebra bildet die Menge aller booleschen Funktionen (auf {0,1}) einen Klon; feinere Beispiele sind die Klone der polynomiellen Operationen einer gegebenen Algebra (alle durch Terme ausgedrückten Operationen). Der von einer Menge grundlegender Operationen erzeugte Klon ist der kleinste Klon, der diese enthält, und lässt sich durch wiederholte Kompositionen und Projektionen beschreiben.

Fehlanwendung

Beliebige Mengen von Operationen ohne Prüfung der Abschlussbedingungen als Klon zu bezeichnen, Klone mit Transformationsmonoiden zu verwechseln (diese enthalten möglicherweise keine Projektionen oder erlauben nicht variable Stelligkeiten), oder Abschluss unter unendlichen Kompositionen anzunehmen, obwohl nur finitäre Kompositionen zugelassen sind.

Konsequenz

Klone fungieren als algebraische Invarianten äquationaler Theorien: der Klon der Termoperationen bestimmt die Äquationstheorie einer Struktur und klassifiziert definierbare Operationen. Die Untersuchung von Klonen liefert Klassifikationsergebnisse (Posts Gitter im booleschen Fall) und verbindet syntaktische Beschreibungen mit semantischen Abschlüssen.

Umkehrung

Eine Familie von Operationen, die nicht unter Komposition abgeschlossen ist oder Projektionen weglässt, ist kein Klon; das Entfernen von Projektionen oder Kompositionsabschluss zerstört den Bezug zur Termbildung und ergibt schwächere Objekte (Operationsmengen oder Operaden mit anderen Axiomen).

Abgrenzung

Klone betreffen finitäre Operationen auf einem festen Träger; sie schließen infinitäre Operationen oder Relationen aus und fordern das Vorhandensein aller Projektionen. Verwandte Konzepte wie Operaden oder Transformationsmonoide verwenden unterschiedliche Anforderungen an Stelligkeit oder Symmetrie.

Semantische Spannung

Eine häufige Spannung besteht zwischen Klon, Operade und Transformationsmonoid: Operaden betonen aritätsindizierte Komposition oft ohne Projektionen, Transformationsmonoide fokussieren auf unäre Kompositionen. Klone stehen dazwischen und betonen Substitution sowie mehrstufige Termbildung.

Synthese

Ein Klon von Operationen auf einer Menge ist der Abschluss einer Ausgangsmenge finiter Operationen unter Substitution und Einschluss der Variablenprojektionen; er erfasst genau die durch Termbildung aus gegebenen Primitiven erreichbaren Operationen und kodiert so die äquationale Ausdruckskraft der Algebra.