Una teoría del primer orden axiomatizada por oraciones Horn universales: implicaciones cuyo antecedente es una conjunción de fórmulas atómicas (a menudo ecuaciones) y cuyo consecuente es una única fórmula atómica o la falsedad.

Principio

Capturar restricciones algebraicas condicionales mediante implicaciones universalmente cuantificadas de predicados atómicos; la forma Horn garantiza propiedades de cierre modelo-teóricas favorables y admite inferencia tipo resolución.

Demostración

Un axioma universal Horn típico en una firma algebraica es (f(x,y)=f(y,x) ∧ g(y)=y) → h(x)=x; más clásicamente, leyes de cancelación como (a·b = a·c) → b = c pueden expresarse como oraciones Horn universales si la firma incluye los símbolos necesarios.

Aplicación incorrecta

Usar conclusiones existenciales o disyuntivas y aun así llamar Horn a la teoría; o asumir que toda teoría Horn universal es puramente ecuacional—algunas implicaciones Horn relacionan varios hechos atómicos y no son equivalentes a una sola identidad.

Consecuencia

La clase de modelos de una teoría Horn universal es una cuasivariedad: cerrada por subálgebras, productos directos y ultraproductos; dichas teorías admiten construcciones de cierre canónicas y objetos libres relativos restringidos por los axiomas.

Inversión

Una teoría del primer orden arbitraria con patrones de cuantificación arbitrarios o axiomas disyuntivos; estas pueden definir clases de modelos que no satisfacen los cierres por subestructuras o productos característicos de las teorías Horn universales.

Límite

Restringida a oraciones Horn universales (no cuantificadores existenciales en los axiomas, no disyunciones arbitrarias como consecuentes positivos); típicamente formulada con antecedentes atómicos y un consecuente atómico único o la falsedad.

Tensión semántica

Entre teorías Horn y teorías ecuacionales: los axiomas ecuacionales son un caso especial de axiomas Horn, pero las teorías Horn pueden expresar implicaciones que imponen estructura condicional no capturable por identidades aisladas.

Síntesis

Una teoría Horn universal generaliza las ecuaciones al permitir implicaciones atómicas condicionales bajo cuantificación universal; sus modelos forman una cuasivariedad que preserva muchas propiedades de cierre algebraicas a la vez que permite restricciones condicionales.