El teorema de que cualquier progresión aritmética a, a+d, a+2d, ... con gcd(a,d)=1 contiene infinitamente muchos números primos; garantiza al menos un primo en infinitas posiciones de la progresión cuando el término inicial y la diferencia son coprimos.

Principio

El principio organizador es que caracteres de Dirichlet no triviales y sus series L distinguen clases de residuos módulo d, y la no anulación de las series L en s=1 para el carácter principal fuerza la existencia de infinitos primos en cada clase de residuos reducida módulo d.

Demostración

Ejemplo: para el módulo d=4 y la clase a=3 (gcd(3,4)=1), el teorema de Dirichlet afirma que existen infinitos primos congruentes a 3 módulo 4; miembros pequeños son 3, 7, 11, 19, ... y el teorema asegura que la lista no termina, aunque no ofrece una fórmula elemental para su distribución.

Aplicación incorrecta

Suponer que el teorema aplica cuando gcd(a,d)>1 (caso en el que la progresión puede no contener primos más allá de un término trivial) o esperar una cota explícita para la localización del siguiente primo en la progresión son malaplicaciones; el teorema no es constructivo respecto a brechas exactas.

Consecuencia

Aplicado correctamente asegura que los primos se distribuyen entre las clases de residuos reducidas módulo d y sustenta resultados avanzados sobre equidistribución, técnicas analíticas en teoría de números y construcciones en teoría algebraica de números y criptografía que requieren primos con propiedades de congruencia prescritas.

Inversión

La inversión es cuando gcd(a,d)>1: la progresión a + kd comparte un factor común y típicamente contiene, como mucho, un primo (a menudo solo si el factor común es primo); invertir la condición de coprimalidad anula la conclusión del teorema.

Límite

Ámbito: requiere gcd(a,d)=1 y trata sobre infinitud de primos sin aportar información sobre densidad ni cotas efectivas; afirmaciones cuantitativas más fuertes requieren resultados analíticos más profundos. El teorema se aplica a progresiones aritméticas de enteros, no a secuencias arbitrarias ni a módulos con estructura algebraica añadida sin extensión.

Tensión semántica

Existe tensión entre la garantía existencial de infinitud y las necesidades prácticas de densidad o cotas efectivas; un significado cercano es la generalización a primos en progresiones dentro de cuerpos de números, que exige hipótesis y herramientas diferentes.

Síntesis

El teorema de Dirichlet afirma la infinitud de primos en cualquier progresión aritmética con término inicial y diferencia coprimos aprovechando caracteres y la no anulación de series L, distribuyendo así los primos entre clases de residuos y constituyendo una piedra angular de la teoría analítica de números.