Una noción de densidad ponderada para un conjunto A de enteros positivos definida, cuando existe, por el límite x→∞ de (1 / log x) Σ_{n≤x, n∈A} 1/n; mide la proporción de A usando el peso armónico en lugar del conteo uniforme.

Principio

Emplear pesos armónicos 1/n para lograr invariancia de escala y enfatizar la estructura multiplicativa y los conjuntos delgados con suma recíproca divergente, incluso cuando la densidad natural es cero o indefinida.

Demostración

Para el conjunto de múltiplos de un entero m≥1 se tiene Σ_{n≤x, n∈A} 1/n ≍ (1/m) log x, por lo que la densidad logarítmica es 1/m. Esto muestra cómo las progresiones aritméticas reciben la proporción esperada con pesaje armónico.

Aplicación incorrecta

Confundir densidad logarítmica con densidad natural; suponer la existencia del límite para conjuntos arbitrarios sin comprobar la oscilación de la suma armónica.

Consecuencia

Cuando existe, la densidad logarítmica da un invariante de tamaño fraccional robusto, estable bajo escalados multiplicativos y útil para conjuntos definidos por propiedades multiplicativas o de distribución.

Inversión

El complemento de A tiene densidad logarítmica 1 menos la densidad de A cuando ambas existen; sin embargo, ninguna existencia garantiza la de la otra.

Límite

Se aplica solo a subconjuntos de los enteros positivos y únicamente cuando existe el límite ponderado armónico; excluye conjuntos finitos y muchos conjuntos naturales cuyas sumas parciales ponderadas oscilan.

Tensión semántica

Compite con la densidad natural: la densidad natural cuenta los enteros por igual, mientras la densidad logarítmica pondera por 1/n, de modo que conjuntos con muchos elementos pequeños o con estructura multiplicativa pueden obtener valores distintos según la noción.

Síntesis

La densidad logarítmica es el análogo ponderado armónicamente de la densidad natural: reemplaza el conteo igual por pesos 1/n para revelar rasgos de distribución sensibles a la escala y a la multiplicatividad cuando la media armónica converge.