Eine gewichtete Dichtedefinition für eine Menge A positiver ganzer Zahlen, definiert, falls existent, als der Grenzwert x→∞ von (1 / log x) Σ_{n≤x, n∈A} 1/n; sie misst den Anteil von A mit harmonischer Gewichtung statt mit Gleichgewichtung.

Prinzip

Durch die Verwendung harmonischer Gewichte 1/n wird Skalierungsinvarianz erreicht, wodurch multiplikative Strukturen und dünne Mengen mit divergierenden Kehrwertsummen erkannt werden, auch wenn die natürliche Dichte null oder undefiniert ist.

Demonstration

Für die Menge der Vielfachen eines ganzen m≥1 gilt Σ_{n≤x, n∈A} 1/n ≍ (1/m) log x, sodass die logarithmische Dichte 1/m beträgt. Dies zeigt, wie arithmetische Progressionen unter harmonischer Gewichtung den erwarteten Anteil erhalten.

Fehlanwendung

Die logarithmische Dichte mit der natürlichen Dichte gleichzusetzen; die Existenz des Grenzwerts für beliebige Mengen anzunehmen, ohne die Oszillation der harmonischen Summe zu prüfen.

Konsequenz

Wenn sie existiert, liefert die logarithmische Dichte ein robustes Bruchgrößeninvariant, das unter multiplikativen Skalierungen stabil ist und sich für mengen mit multiplikativer oder verteilungsbezogener Definition eignet.

Umkehrung

Das Komplement von A hat die logarithmische Dichte 1 minus der logarithmischen Dichte von A, sofern beide existieren; jedoch muss nicht zwangsläufig die eine Existenz die andere garantieren.

Abgrenzung

Gilt nur für Teilmengen der positiven ganzen Zahlen und nur wenn der harmonisch gewichtete Grenzwert existiert; schließt endliche Mengen aus und viele natürliche Mengen deren gewichtete Partialsummen oszillieren.

Semantische Spannung

Steht im Wettbewerb mit der natürlichen Dichte: natürliche Dichte zählt gleichmäßig, während logarithmische Dichte nach 1/n gewichtet, sodass Mengen mit vielen kleinen Elementen oder multiplikativer Struktur unterschiedliche Werte liefern können.

Synthese

Die logarithmische Dichte ist das harmonisch gewichtete Analogon zur natürlichen Dichte: Sie ersetzt gleichmäßiges Zählen durch 1/n-Gewichte, um skalensensible und multiplikativ geprägte Verteilungsmerkmale sichtbar zu machen, wenn der harmonische Mittelwert konvergiert.