Medida asintótica del tamaño de un subconjunto A de los naturales dada por d(A)=lim_{x→∞} |A∩[1,x]|/x cuando ese límite existe; toma valores en [0,1] y cuantifica la proporción de enteros en A.

Principio

Comparar la función de conteo de A con el crecimiento lineal x para capturar la frecuencia a largo plazo; la densidad natural trata cada entero por igual y exige la estabilización de la frecuencia relativa.

Demostración

Ejemplos: los enteros pares tienen densidad natural 1/2; los múltiplos de 3 densidad 1/3; el conjunto de primos tiene densidad 0 porque π(x)/x→0; los cuadrados perfectos tienen densidad 0.

Aplicación incorrecta

Asignar densidad natural a conjuntos donde el límite no existe (conjuntos oscilatorios) o confundir densidad natural con densidad logarítmica o de Banach conduce a conclusiones engañosas sobre el 'tamaño'.

Consecuencia

Cuando existe, la densidad natural ofrece una interpretación probabilística simple: un entero elegido al azar en {1,...,x} pertenece a A con probabilidad ≈ d(A) para gran x; informa conteos asintóticos y modelos heurísticos.

Inversión

La inversión es usar una ponderación no uniforme (p. ej. densidad logarítmica) de modo que la densidad dependa del peso de los enteros; tales inversiones cambian qué conjuntos se consideran grandes o despreciables.

Límite

Requiere la existencia del límite; excluye muchos conjuntos importantes en teoría de números con comportamiento oscilatorio o disperso para los cuales la densidad natural no existe; no refleja distribución en clases de resto ni irregularidades locales.

Tensión semántica

Tensión con la densidad logarítmica, densidades superior/inferior y la densidad natural: distintas nociones pueden asignar diferentes 'tamaños' a un mismo conjunto, por lo que la elección de la densidad es crucial.

Síntesis

La densidad natural es la proporción límite de enteros de un conjunto medida por el conteo simple hasta x; es la noción básica de frecuencia uniforme para subconjuntos de naturales que existe solo cuando los conteos relativos se estabilizan asintóticamente.