Asymptotisches Maß der Größe einer Teilmenge A der natürlichen Zahlen, gegeben durch d(A)=lim_{x→∞} |A∩[1,x]|/x wenn dieser Grenzwert existiert; liegt in [0,1] und quantifiziert den Anteil der ganzen Zahlen in A.

Prinzip

Die Zählfunktion von A mit linearem Wachstum x vergleichen, um die langfristige Häufigkeit zu erfassen; die natürliche Dichte behandelt jede ganze Zahl gleich und verlangt die Stabilisierung der relativen Häufigkeit.

Demonstration

Beispiele: gerade Zahlen haben natürliche Dichte 1/2; Vielfache von 3 haben Dichte 1/3; die Menge der Primzahlen hat Dichte 0, da π(x)/x→0; Quadratzahlen haben Dichte 0.

Fehlanwendung

Der Versuch, einer Menge eine natürliche Dichte zuzuschreiben, wenn der Grenzwert nicht existiert (oszillierende Mengen), oder die Verwechslung mit logarithmischer oder Banach-Dichte führt zu irreführenden Aussagen über die »Größe«.

Konsequenz

Wenn sie existiert, liefert die natürliche Dichte eine einfache probabilistische Interpretation: eine zufällige ganze Zahl aus {1,...,x} liegt mit Wahrscheinlichkeit ≈ d(A) in A für großes x; sie informiert asymptotische Zählungen und heuristische Modelle.

Umkehrung

Die Umkehr besteht darin, eine nichtgleichmäßige Gewichtung zu verwenden (z. B. logarithmische Dichte), sodass die Dichte von der Gewichtung der ganzen Zahlen abhängt; solche Umkehrungen verändern, welche Mengen groß oder vernachlässigbar sind.

Abgrenzung

Erfordert die Existenz des Grenzwerts; schließt viele wichtige zahlentheoretische Mengen mit oszillierendem oder dünnem Verhalten aus, für die die natürliche Dichte nicht existiert; spiegelt keine Verteilung in Kongruenzklassen oder lokale Unregelmäßigkeiten wider.

Semantische Spannung

Spannung zwischen logarithmischer Dichte, oberen/unteren Dichten und natürlicher Dichte: unterschiedliche Begriffe können derselben Menge verschiedene »Größen« zuweisen, weshalb die Wahl der Dichte entscheidend ist.

Synthese

Natürliche Dichte ist der Grenzwert des Anteils von Zahlen eines Mengens bis x gemessen durch einfaches Zählen; sie ist das grundlegende Konzept einer gleichmäßigen Frequenz für Teilmengen der Naturzahlen, gültig nur wenn sich relative Zählungen asymptotisch stabilisieren.