Un entero r (o su clase de congruencia módulo n) que no es congruente con ningún cuadrado módulo n; equivalentemente r está fuera de la imagen de la aplicación x ↦ x^2 en Z/nZ.

Principio

Los no residuos se definen negativamente por la falta de solvencia: la idea es clasificar las clases según si la congruencia cuadrática x^2 ≡ r (mod n) admite solución, separando residuos y no residuos.

Demostración

Módulo 7 la clase de 3 es un no residuo cuadrático porque no existe x en {0,…,6} con x^2 ≡ 3 (mod 7); en cambio 2 y 4 son residuos, como muestran los cuadrados explícitos.

Aplicación incorrecta

Llamar no residuo a un número sin especificar el módulo, o transferir directamente heurísticas de paridad desde módulos primos a módulos compuestos donde la distribución es más compleja.

Consecuencia

Reconocer no residuos identifica clases donde las congruencias cuadráticas carecen de solución, informa leyes de reciprocidad y alimenta primitivas criptográficas que dependen de la dificultad de distinguir residuos de no residuos en ciertos contextos.

Inversión

La noción inversa es residuo cuadrático; cambiar la clasificación altera la solvencia de ecuaciones cuadráticas y la pertenencia a subgrupos multiplicativos de (Z/nZ)^×.

Límite

Depende del módulo n: para primo impar p aproximadamente la mitad de las clases no nulas son no residuos (según convenciones), mientras que para n compuesto los divisores de cero y la descomposición por el teorema chino cambian existencia y conteo.

Tensión semántica

Tensión entre la tarea algorítmica 'probar si un entero es no residuo' y la clasificación abstracta; también entre heurísticas estadísticas y criterios algebraicos exactos como los símbolos de Legendre o Jacobi.

Síntesis

Un no residuo cuadrático módulo n es una clase de congruencia excluida de la imagen del cuadrado; junto con los residuos particiona las clases según la solvencia de x^2 ≡ r y desempeña un papel central en reciprocidad, algoritmos y criptografía.