Eine ganze Zahl r (bzw. ihre Kongruenzklasse modulo n), die zu keinem Quadrat modulo n kongruent ist; äquivalent: r liegt nicht im Bild der Quadrierabbildung x ↦ x^2 auf Z/nZ.

Prinzip

Nichtreste werden negativ durch Nichtlösbarkeit definiert: das Prinzip ist die Klassifikation der Klassen danach, ob die quadratische Kongruenz x^2 ≡ r (mod n) eine Lösung besitzt und damit Reste von Nichtresten trennt.

Demonstration

Modulo 7 ist die Klasse 3 ein quadratischer Nichtrest, weil kein x in {0,…,6} die Gleichung x^2 ≡ 3 (mod 7) erfüllt; demgegenüber sind 2 und 4 Reste, wie die quadratischen Reste zeigen.

Fehlanwendung

Eine Zahl ohne Angabe des Moduls als Nichtrest zu bezeichnen oder Verteilungsheuristiken von Primmoduln unverändert auf zusammengesetzte Moduli zu übertragen, wo die Verteilung komplizierter ist.

Konsequenz

Nichtreste markieren Klassen, in denen quadratische Kongruenzen keine Lösung haben, beeinflussen Reziprozitätsgesetze und werden in kryptographischen Konstruktionen verwendet, die auf der Schwierigkeit beruhen, Reste von Nichtresten zu unterscheiden.

Umkehrung

Das Gegenstück ist der quadratische Rest; die Umkehr der Klassifikation ändert die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen und die Zugehörigkeit zu multiplikativen Untergruppen von (Z/nZ)^×.

Abgrenzung

Hängt vom Modul n ab: für ungerades Prim p sind etwa die Hälfte der nichtnullen Klassen Nichtreste (je nach Zählkonvention); bei zusammengesetzten n verändern Nullteiler und chinesische Restklassensatz die Existenz und Zählung.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der algorithmischen Aufgabe 'testen, ob eine Zahl Nichtrest ist' und der abstrakten Klassifikation; ebenso zwischen statistischen Heuristiken und exakten algebraischen Kriterien wie Legendre‑ oder Jacobi‑Symbolen.

Synthese

Ein quadratischer Nichtrest modulo n ist eine Kongruenzklasse, die nicht als Quadrat erreichbar ist; zusammen mit den Resten partitioniert er die Klassen nach Lösbarkeit von x^2 ≡ r und ist zentral für Reziprozität, Algorithmen und Kryptographie.