Un teorema de geometría proyectiva: para cualquier hexágono cuyos seis vértices yacen sobre una cónica no degenerada, los tres puntos de intersección de los pares de lados opuestos son colineales (pertenecen a una misma recta denominada recta de Pascal).

Principio

Invariancia proyectiva de las incidencias: las incidencias y colinearidades determinadas por una cónica se conservan bajo transformaciones proyectivas; la configuración de las intersecciones de lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica produce una única recta.

Demostración

Tomar seis puntos distintos A,B,C,D,E,F sobre una circunferencia (caso particular de cónica). Formar el hexágono A–B–C–D–E–F y calcular X = AB∩DE, Y = BC∩EF, Z = CD∩FA; el teorema de Pascal afirma que X,Y,Z son colineales. La misma conclusión vale tras aplicar cualquier mapa proyectivo que envíe la circunferencia a otra cónica no degenerada.

Aplicación incorrecta

Afirmar colinearidad cuando los seis vértices no están sobre la misma cónica (por ejemplo hexágonos arbitrarios) o tratar indebidamente degeneraciones (tres vértices consecutivos coincidentes, o lados opuestos paralelos en una representación afín) conduce a errores.

Consecuencia

Proporciona una relación de incidencia fundamental usada para generar nuevas rectas proyectivas a partir de hexágonos inscritos en una cónica; da lugar a construcciones (la recta de Pascal) y sustenta muchos resultados y demostraciones sintéticas clásicas en geometría proyectiva.

Inversión

Enunciado dual (teorema de Brianchon): para un hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales principales concurren. La dualidad subraya la relación proyectiva entre colinearidad y concurrencia.

Límite

Se cumple en el plano proyectivo para cónicas no degeneradas y con interpretación adecuada de degeneraciones; no se aplica si los seis vértices no están sobre la misma cónica o si la geometría ambiente carece de los axiomas de incidencia proyectiva (p. ej. construcciones puramente métricas euclidianas sin clausura proyectiva).

Tensión semántica

A veces se confunde con propiedades hexagonales puramente métricas (p. ej. lados opuestos iguales) o con teoremas específicos de la circunferencia; la tensión es entre la colinearidad proyectiva (fenómeno de invariancia/razón doble) y afirmaciones métricas euclidianas de longitudes/ángulos.

Síntesis

El teorema de Pascal es una regla de incidencia proyectiva: un hexágono inscrito en una cónica determina una recta canónica por las tres intersecciones de lados opuestos, enunciado estable por transformaciones proyectivas y dual a Brianchon.