Ein Satz der projektiven Geometrie: Für jedes Hexagon, dessen sechs Eckpunkte auf einer nichtentarteten Kegelschnittkurve liegen, sind die drei Schnittpunkte der gegenüberliegenden Seiten paarweise kollinear (liegen auf einer einzigen Geraden, der Pascal-Linie).

Prinzip

Projektive Invarianz von Inzidenzen: Inzidenzen und Kollinearitäten, die durch eine Kegelschnittkurve bestimmt sind, bleiben unter projektiven Abbildungen erhalten; die Konfiguration der Schnittpunkte gegenüberliegender Seiten eines in eine Kegelschnittkurve eingeschriebenen Hexagons ergibt eine einzelne Gerade.

Demonstration

Wähle sechs verschiedene Punkte A,B,C,D,E,F auf einem Kreis (spezieller Kegelschnitt). Bildet man das Hexagon A–B–C–D–E–F und setzt X = AB∩DE, Y = BC∩EF, Z = CD∩FA, so besagt Pascals Theorem, dass X,Y,Z kollinear sind. Dasselbe Ergebnis gilt nach Anwendung jeder projektiven Abbildung, die den Kreis auf eine andere nichtentartete Kegelschnittkurve schickt.

Fehlanwendung

Fälschlicherweise Kollinearität zu behaupten, wenn die sechs Eckpunkte nicht auf einer einzigen Kegelschnittkurve liegen (z. B. bei willkürlichen Hexagonen) oder degenerierte Lagen (drei aufeinanderfolgende zusammenfallende Punkte oder gegenüberliegende Seiten, die in der affinen Darstellung parallel werden) nicht korrekt zu behandeln, führt zu falschen Aussagen.

Konsequenz

Stellt eine grundlegende Inzidenzbeziehung dar, mit der aus in eine Kegelschnittkurve eingeschriebenen Hexagonen neue projektive Geraden konstruiert werden; es liefert die Pascal-Gerade und bildet die Grundlage zahlreicher klassischer synthetischer Resultate der projektiven Geometrie.

Umkehrung

Dualaussage (Brianchons Satz): Für ein an eine Kegelschnittkurve berührtes Hexagon schneiden sich die drei Hauptdiagonalen in einem Punkt. Die Dualität unterstreicht den projektiven Austausch von Kollinearität und Konkurrent.

Abgrenzung

Gilt in der projektiven Ebene für nichtentartete Kegelschnitte und sofern Degenerationen projektionstheoretisch interpretiert werden; es gilt nicht, wenn die sechs Punkte nicht auf derselben Kegelschnittkurve liegen oder wenn die Umgebungsg eometrie die projektiven Inzidenzaxiome nicht erfüllt.

Semantische Spannung

Wird mitunter mit rein metrischen Hexagon-Eigenschaften (z. B. gleichen gegenüberliegenden Seiten) oder speziellen Kreis-Sätzen verwechselt; die Spannung liegt zwischen projektiver Kollinearität (Invarianz-/Kreuzverhältnisphänomen) und euklidischen Längen-/Winkelaussagen.

Synthese

Pascals Satz fasst eine projektive Inzidenzregel zusammen: Ein in eine Kegelschnittkurve eingeschriebenes Hexagon liefert eine kanonische Gerade durch die drei Schnittpunkte gegenüberliegender Seiten, eine Aussage, die projektiv invariant ist und durch Brianchon dualisiert wird.