En un triángulo rectángulo euclidiano, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos: si los catetos son a y b y la hipotenusa c, entonces c^2 = a^2 + b^2.

Principio

El teorema codifica la relación métrica inducida por la ortogonalidad: las componentes ortogonales contribuyen de forma aditiva a la distancia al cuadrado, reflejando la estructura del producto escalar euclidiano.

Demostración

Ejemplo numérico clásico: el triángulo rectángulo 3–4–5 satisface 5^2 = 3^2 + 4^2 porque 25 = 9 + 16. Existen numerosas pruebas (reordenamientos geométricos, triángulos semejantes, argumentos algebraicos).

Aplicación incorrecta

Aplicar c^2 = a^2 + b^2 a un triángulo no rectángulo sin el término corrector de la ley de cosenos, o usarlo en métricas no euclidianas como la métrica del taxi donde la relación de cuadrados no se mantiene.

Consecuencia

Proporciona un método directo para calcular distancias, comprobar ángulos rectos a partir de longitudes de lados y fundamenta la geometría analítica, las proyecciones ortogonales y la noción de norma euclidiana y bases ortonormales.

Inversión

La ley de los cosenos generaliza el teorema: para un triángulo cualquiera c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(γ); en sentido inverso, si c^2 < a^2 + b^2 el triángulo es agudo, si es mayor es obtuso.

Límite

Válido en la geometría euclidiana (plana) con la noción estándar de distancia; no válido en espacios curvos, métricas discretas o sin una estructura de producto escalar que dé aditividad de cuadrados.

Tensión semántica

Compite con conceptos de distancia generalizados (espacios normados con otras p‑normas) y con métricas de camino discretas; la tensión es entre la aditividad euclidiana de cuadrados y otras medidas de longitud.

Síntesis

El teorema de Pitágoras es la identidad euclidiana fundamental que relaciona ortogonalidad y distancias al cuadrado en triángulos rectángulos; es un caso particular de la ley de cosenos y una piedra angular de construcciones métricas, algebraicas y geométricas.