In einem euklidischen rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der Katheten: Sind die Katheten a und b und die Hypotenuse c, so gilt c^2 = a^2 + b^2.

Prinzip

Der Satz kodiert die metrische Relation, die durch Orthogonalität entsteht: orthogonale Komponenten tragen additiv zum quadrierten Abstand bei und spiegeln damit die Struktur des euklidischen Skalarprodukts wider.

Demonstration

Klassisches numerisches Beispiel: das rechtwinklige Dreieck 3–4–5 erfüllt 5^2 = 3^2 + 4^2, denn 25 = 9 + 16. Es gibt viele Beweise (geometrische Umstellungen, ähnliche Dreiecke, algebraisch).

Fehlanwendung

Die Gleichung c^2 = a^2 + b^2 auf ein nicht rechtwinkliges Dreieck anzuwenden ohne den Korrekturterm der Kosinussatzes oder sie in nicht‑euklidischen Metriken wie der Taximetermetrik zu verwenden, wo die Quadratsummeneigenschaft fehlt.

Konsequenz

Sie liefert eine direkte Methode zur Distanzberechnung, zum Nachweis rechter Winkel aus Seitenlängen und bildet die Grundlage der Koordinatengeometrie, orthogonalen Projektionen und des Begriffs der euklidischen Norm und orthonormaler Basen.

Umkehrung

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz: für beliebige Dreiecke gilt c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(γ); umgekehrt zeigt c^2 < a^2 + b^2 ein spitzes Dreieck, c^2 > a^2 + b^2 ein stumpfes.

Abgrenzung

Gültig in der euklidischen (flachen) Geometrie mit der üblichen Distanzdefinition; nicht gültig in gekrümmten Räumen, in diskreten Metriken oder ohne ein Skalarprodukt, das Quadratsummen‑Additivität liefert.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung gegenüber verallgemeinerten Distanzbegriffen (Normräume mit anderen p‑Normen) und gegenüber diskreten Wegmetriken; die Spannung liegt zwischen euklidischer Quadratsummenadditivität und alternativen Längenmaßen.

Synthese

Der Satz des Pythagoras ist die fundamentale euklidische Identität, die Orthogonalität und quadrierte Abstände in rechtwinkligen Dreiecken verknüpft; er ist ein Spezialfall des Kosinussatzes und Grundstein metrischer, algebraischer und geometrischer Konstruktionen.