Notión fuerte de diferenciabilidad para funciones entre espacios vectoriales normados: en un punto x, f admite un operador lineal acotado L (la derivada de Fréchet) tal que f(x+h)-f(x)-L(h)=o(‖h‖) cuando h→0, es decir, L aproxima uniformemente el incremento de primer orden de f.

Principio

La regla organizadora es la existencia de un único operador lineal acotado que proporciona una aproximación uniforme de primer orden: el resto dividido por la norma del incremento tiende a cero. Combina linealidad, acotamiento y una condición uniforme sobre el error.

Demostración

Ejemplo concreto en dimensiones finitas: f: R^2→R dada por f(x,y)=x^2+y^2 es diferenciable en el sentido de Fréchet en (x0,y0) con L(h1,h2)=2x0·h1+2y0·h2. Se verifica que (f(x0+h)-f(x0)-L(h))/‖h‖→0 cuando h→0.

Aplicación incorrecta

Asumir que la existencia de derivadas direccionales a lo largo de cada vector (derivadas de Gâteaux) implica automáticamente una derivada de Fréchet; en espacios de dimensión infinita esto puede fallar: pueden existir derivadas direccionales sin que haya un operador lineal acotado que aproxime uniformemente f.

Consecuencia

Cuando existe, la derivada de Fréchet es única, lineal y acotada; implica la continuidad de f y permite las reglas de cálculo habituales (suma, composición cuando estén definidas) y estimaciones de error usadas en métodos de Newton y análisis de estabilidad.

Inversión

La situación inversa es una función que tiene derivadas direccionales en muchas o todas las direcciones pero carece de un operador lineal acotado que aproxime los incrementos: no hay aproximación lineal uniforme de primer orden, por tanto falla la diferenciabilidad de Fréchet.

Límite

Se aplica solo en espacios vectoriales normados (o contextos métricos compatibles) y es una propiedad puntual; excluye la mera existencia de derivadas direccionales sin control uniforme y la aproximación por mapas no lineales. También presupone una asintótica para vectores pequeños y un espacio objetivo lineal para L.

Tensión semántica

A menudo se contrapone con la diferenciabilidad de Gâteaux: ambas usan información direccional, pero Fréchet exige un único aproximante lineal acotado y una condición de error más fuerte. En dimensiones finitas coinciden bajo hipótesis moderadas, pero no en general.

Síntesis

La diferenciabilidad de Fréchet exige que una función admita un único operador lineal acotado que brinde la mejor aproximación lineal uniforme de sus incrementos en un punto, recuperando la estructura del cálculo en espacios normados.