Eine starke Differenzierbarkeitsbedingung für Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen: an einer Stelle x besitzt die Funktion f einen beschränkten linearen Operator L (die Fréchet-Ableitung), so dass f(x+h)-f(x)-L(h)=o(‖h‖) für h→0 gilt; L approximiert also uniform die erste Ordnung des Zuwachses.

Prinzip

Das ordnende Prinzip ist die Existenz einer einzigen beschränkten linearen Abbildung, die eine uniforme lineare Näherung liefert: der Fehler geteilt durch die Norm des Inkrements geht gegen Null. Das vereint Linearität, Beschränktheit und eine uniforme Fehlerbedingung.

Demonstration

Konkretes Beispiel in R^2: f(x,y)=x^2+y^2 ist Fréchet-differenzierbar in (x0,y0) mit L(h1,h2)=2x0·h1+2y0·h2. Man prüft, dass (f(x0+h)-f(x0)-L(h))/‖h‖→0 für h→0.

Fehlanwendung

Die Annahme, dass die Existenz aller Richtungsableitungen (Gâteaux-Ableitungen) automatisch eine Fréchet-Ableitung liefert; in unendlichdimensionalen Räumen kann dies scheitern — Richtungsableitungen können existieren, ohne dass eine einzige beschränkte lineare Näherung vorliegt.

Konsequenz

Existiert sie, so ist die Fréchet-Ableitung eindeutig, linear und beschränkt; sie impliziert die Stetigkeit von f und erlaubt die üblichen Rechenregeln (Summe, Verkettung, wo definiert) sowie Fehlerabschätzungen, die z. B. in Newton-Verfahren genutzt werden.

Umkehrung

Das Umgekehrte ist eine Funktion mit Richtungsableitungen in vielen oder allen Richtungen, aber ohne beschränkte lineare Abbildung, die die Zuwächse approximiert — es fehlt die uniforme lineare Erstordnung-Näherung, also keine Fréchet-Differenzierbarkeit.

Abgrenzung

Gilt nur in normierten (oder metrisch kompatiblen) Vektorräumen und ist eine punktweise Eigenschaft; schließt die bloße Existenz von Richtungsableitungen ohne uniformen Kontrolle aus und die Approximation durch nichtlineare Abbildungen. Vorausgesetzt wird eine Kleine-Norm-Asymptotik und ein linearer Zielraum für L.

Semantische Spannung

Im Gegensatz zur Gâteaux-Differenzierbarkeit: Beide verwenden richtungsbezogene Informationen, doch verlangt Fréchet eine einzige beschränkte lineare Näherung und eine stärkere Fehlerbedingung. In endlichen Dimensionen fallen sie unter milden Voraussetzungen zusammen, sonst nicht.

Synthese

Fréchet-Differenzierbarkeit verlangt, dass eine Funktion eine eindeutige beschränkte lineare Abbildung besitzt, die die beste uniforme lineare Näherung der Inkremente an einem Punkt liefert und so die übliche Differenzialstruktur in normierten Räumen begründet.