Una construcción universal que extiende un funtor a lo largo de otro funtor de la mejor manera posible, produciendo extensiones de Kan a la izquierda o a la derecha caracterizadas por propiedades universales que generalizan límites, colímites y adjuntos.

Principio

La extensión de Kan de F a lo largo de J es un objeto que representa el funtor que envía Y a transformaciones naturales desde J(-,Y) compuestas con F hacia un objetivo; equivalentemente, es universal entre todas las extensiones de F a lo largo de J y organiza la existencia punto a punto mediante (co)límites cuando estos existen.

Demostración

Dada una inclusión j: D→C y un funtor F:D→E, la extensión de Kan por la izquierda Lan_j F:C→E asigna a c∈C el colímite sobre la categoría coma (j↓c) de F; por ejemplo, la extensión de Kan por la izquierda a lo largo de una inclusión suele calcular completaciones libres o adjuntos a la izquierda a la precomposición.

Aplicación incorrecta

Suponer que toda extensión de Kan existe punto a punto sin verificar los (co)límites necesarios conduce a construcciones equivocadas; igualmente, tratar extensiones de Kan formales como fórmulas concretas en categorías carentes de los colímites requeridos es un error.

Consecuencia

Cuando existen, las extensiones de Kan proporcionan formas canónicas de extender funtores, generan adjuntos y expresan muchas construcciones de forma uniforme (límites, colímites, haces, extensiones de Kan), y permiten el cálculo mediante fórmulas punto a punto de (co)límites cuando procede.

Inversión

Reemplazar la extensión de Kan izquierda por la derecha invierte colímites por límites y revierte las flechas universales; la extensión de Kan derecha es la noción dual y satisface una propiedad universal análoga para conos en lugar de coconos.

Límite

Las extensiones de Kan están definidas en cualquier 2-categoría pero su cálculo concreto requiere la existencia de los (co)límites pertinentes o condiciones de completitud en el objetivo; no eximen de verificar restricciones de tamaño o set-theoretic en la práctica.

Tensión semántica

Hay tensión entre la existencia abstracta formal (como representable en una categoría de funtores) y las fórmulas concretas punto a punto mediante (co)límites; a menudo se confunde la caracterización universal formal con construcciones elementales más simples.

Síntesis

Una extensión de Kan es la solución universal canónica al problema de extender un funtor a lo largo de otro; unifica muchas construcciones — adjuntos, (co)límites, haces — al expresar la extensión mediante una propiedad universal que con frecuencia es calculable punto a punto.