Una teoría de primer orden T en un lenguaje L es completa si para toda sentencia φ en L o bien T ⊢ φ o bien T ⊢ ¬φ; equivalentemente, cualesquiera dos modelos de T son elementariamente equivalentes (T decide todas las sentencias del lenguaje).

Principio

La completitud expresa que la teoría asigna un valor de verdad definido a cada sentencia del lenguaje de primer orden, de modo que la deducción sintáctica y la verdad semántica coinciden al nivel de las sentencias para esa teoría.

Demostración

La teoría de órdenes lineales densos sin extremos (DLO) es completa: toda sentencia en el lenguaje de órdenes lineales es demostrable o refutable por DLO, y todos los órdenes densos numerables sin extremos son isomorfos a (Q,<), por lo que DLO decide sentencias de primer orden sobre densidad y extremos.

Aplicación incorrecta

Confundir completitud con decidibilidad (una teoría completa puede ser indecidible) o con modelo-completitud (una teoría completa no tiene por qué ser modelo-completa); asumir que la completitud se conserva al ampliar el lenguaje sin precauciones.

Consecuencia

Una teoría completa fija el perfil de sentencias de primer orden satisfechas por sus modelos: los tipos sobre el conjunto vacío están determinados, y dos modelos satisfacen exactamente las mismas sentencias, lo que facilita la clasificación y la transferencia de propiedades entre modelos.

Inversión

Una teoría incompleta deja sentencias independientes (ni demostrables ni refutables), permitiendo múltiples modelos no elementariamente equivalentes y ambigüedad real en las verdades de primer orden del lenguaje.

Límite

La completitud es relativa al lenguaje elegido: añadir símbolos puede romper la completitud; la completitud no implica propiedades metateóricas más fuertes como decidibilidad o categoricidad sin hipótesis adicionales.

Tensión semántica

Tensión entre completitud, modelo-completitud y decidibilidad: la modelo-completitud trata el comportamiento de incrustaciones entre modelos, la decidibilidad la determinación efectiva de la demostrabilidad, nociones distintas de la completitud sintáctica.

Síntesis

Una teoría completa es aquella que decide cada sentencia de su lenguaje, proporcionando un perfil semántico determinado para sus modelos, aunque sin garantizar decidibilidad algorítmica ni unicidad de modelos en cada cardinalidad.