Eine vollständige Theorie T in einer Sprache L ist eine prädikatenlogische Theorie, für die zu jeder L-Formel φ entweder T ⊢ φ oder T ⊢ ¬φ gilt; äquivalent sind alle Modelle von T elementar äquivalent (T entscheidet jede Satzformel der Sprache).

Prinzip

Vollständigkeit bedeutet, dass die Theorie jedem Satz der Sprache einen eindeutigen erstordnungslogischen Wahrheitswert zuweist, also syntaktische Ableitbarkeit und semantische Wahrheit auf der Ebene der Sätze zusammenfallen.

Demonstration

Die Theorie dichter linearer Ordnungen ohne Ränder (DLO) ist vollständig: jede Formel in der Sprache der Ordnungen ist entweder aus DLO ableitbar oder deren Negation ist ableitbar; alle zählbaren dichten Ordnungen ohne Ränder sind zu (Q,<) isomorph, sodass DLO erstordnungslogische Aussagen über Dichte und Ränder entscheidet.

Fehlanwendung

Vollständigkeit mit Entscheidbarkeit verwechseln (eine vollständige Theorie kann unentscheidbar sein) oder mit Modellvollständigkeit verwechseln (vollständig bedeutet nicht notwendigerweise modellvollständig); fälschlich annehmen, dass Vollständigkeit unter Sprach-Erweiterungen automatisch erhalten bleibt.

Konsequenz

Eine vollständige Theorie legt das erstordnungslogische Profil ihrer Modelle fest: Typen über der leeren Menge sind bestimmt, und zwei Modelle erfüllen genau dieselben Sätze, was Klassifikation und Eigenschaftsübertragungen erleichtert.

Umkehrung

Eine unvollständige Theorie lässt Sätze offen (weder beweisbar noch widerlegbar), was mehrere nicht-elementar äquivalente Modelle und echte Mehrdeutigkeit bei erstordnungslogischen Wahrheiten erzeugt.

Abgrenzung

Vollständigkeit ist relativ zur gewählten Sprache: Hinzufügen von Symbolen kann Vollständigkeit zerstören; Vollständigkeit impliziert nicht ohne weiteres metatheoretische Eigenschaften wie Entscheidbarkeit oder Kategorizität ohne zusätzliche Voraussetzungen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Vollständigkeit, Modellvollständigkeit und Entscheidbarkeit: Modellvollständigkeit betrifft Einbettungsverhalten, Entscheidbarkeit die effektive Bestimmbarkeit von Beweisbarkeit, beides verschiedene Konzepte gegenüber syntaktischer Vollständigkeit.

Synthese

Eine vollständige Theorie entscheidet jeden Satz ihrer Sprache und gibt damit ein festes erstordnungslogisches Bild ihrer Modelle, ohne notwendigerweise algorithmische Entscheidbarkeit oder Einzigartigkeit der Modelle in jeder Kardinalität zu liefern.