Un conjunto de fórmulas expresadas en lógica de primer orden sobre una firma fija, cerrado bajo consecuencia lógica, que especifica propiedades que deben cumplirse en las estructuras de esa firma.

Principio

Una teoría de primer orden organiza la información matemáticamente de forma sintáctica: axiomas y sus consecuencias en lógica de primer orden determinan la clase de modelos; el cierre bajo consecuencia lógica garantiza que la teoría contiene toda fórmula derivable de sus axiomas.

Demostración

Los axiomas de la teoría de grupos (asociatividad, elemento neutro, inversos) forman una teoría de primer orden en el lenguaje con un símbolo binario · y un símbolo constante e; cualquier estructura que interprete · y e y satisfaga esos axiomas es un modelo de la teoría, y cualquier fórmula derivable de los axiomas de grupo pertenece a la teoría.

Aplicación incorrecta

Intentar codificar propiedades propiamente de segundo orden, como 'el dominio es finito' o 'todo subconjunto tiene un máximo', mediante una teoría de primer orden y esperar que queden completamente fijadas; tales propiedades no se preservan bajo equivalencia elemental y, por tanto, no pueden ser capturadas por axiomas de primer orden.

Consecuencia

A partir de una teoría de primer orden se aplican métodos de teoría de modelos: estudio de modelos, extensiones elementales, completitud o incompletitud de la teoría, y uso de compacidad y fenómenos de Löwenheim–Skolem para obtener resultados de existencia y tamaño de modelos.

Inversión

Visto al revés, en lugar de un conjunto deductivamente cerrado de fórmulas puede partirse de una clase de estructuras y considerar el conjunto de todas las fórmulas de primer orden verdaderas en cada miembro; esta inversión destaca la visión semántica (la teoría como teoría común de una clase) frente a la sintáctica.

Límite

Se aplica únicamente a fórmulas de la lógica de primer orden en una firma fija; excluye la cuantificación de orden superior, axiomas categóricos de segundo orden y restricciones semánticas que no pueden expresarse o imponerse mediante fórmulas de primer orden.

Tensión semántica

Existe tensión entre la teoría como objeto puramente sintáctico y deductivamente cerrado y la clase semántica de sus modelos; dos teorías distintas pueden tener la misma clase de modelos (en el sentido de equivalencia elemental), y una teoría puede admitir modelos no isomorfos que satisfacen todas sus fórmulas.

Síntesis

Una teoría de primer orden es el conjunto deductivamente cerrado de fórmulas de primer orden en una firma dada que describe una colección de estructuras al especificar lo que todos los modelos deben satisfacer; es el puente entre axiomas sintácticos y clases semánticas de modelos dentro de los límites de la expresividad de primer orden.