Eine Menge von Sätzen der Prädikatenlogik erster Stufe über einer festen Signatur, abgeschlossen unter logischer Konsequenz, die Eigenschaften festlegt, die in Strukturen dieser Signatur gelten sollen.

Prinzip

Eine Erste-Ordnungstheorie ordnet mathematische Informationen syntaktisch: Axiome und ihre logischen Folgen bestimmen die Klasse der Modelle; die Abschluss-Eigenschaft unter logischer Konsequenz stellt sicher, dass jede aus den Axiomen ableitbare Aussage in der Theorie enthalten ist.

Demonstration

Die Axiome der Gruppentheorie (Assoziativität, neutrales Element, Inverse) bilden eine Erste-Ordnungstheorie im Sprachumfang mit einem binären Symbol · und einem Konstantensymbol e; jede Struktur, die · und e interpretiert und diese Axiome erfüllt, ist ein Modell der Theorie, und jede aus den Gruppenaxiomen ableitbare Aussage gehört zur Theorie.

Fehlanwendung

Zu versuchen, ausdrücklich höherstufige Eigenschaften wie „die Trägermenge ist endlich" oder „jede Teilmenge hat ein Maximum" durch eine Erste-Ordnungstheorie vollständig festzulegen; solche Eigenschaften sind nicht unter elementarer Äquivalenz erhalten und können daher nicht durch Erstordnungsaxiome vollständig erfasst werden.

Konsequenz

Aus einer Erste-Ordnungstheorie ergeben sich modeltheoretische Werkzeuge: Untersuchung von Modellen, elementaren Erweiterungen, Vollständigkeit oder Unvollständigkeit der Theorie und Anwendung von Kompaktheit sowie Löwenheim–Skolem-Phänomenen zur Herleitung von Existenz- und Kardinalitätsergebnissen für Modelle.

Umkehrung

Umgekehrt kann man statt einer deduktiv abgeschlossenen Menge von Sätzen eine Klasse von Strukturen nehmen und die Menge aller Erstordnungsätze betrachten, die in jedem Mitglied wahr sind; diese Umkehrung betont die semantische Sicht (Theorie als gemeinsame Theorie einer Klasse) statt der syntaktischen.

Abgrenzung

Gilt nur für Sätze der Prädikatenlogik erster Stufe in einer festen Signatur; schließt höherstufige Quantifikation, kategorische Zweitordnungsaxiome und semantische Beschränkungen aus, die nicht durch Erstordnungsätze ausgedrückt oder erzwungen werden können.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen Theorie als rein syntaktischem, deduktiv abgeschlossenem Objekt und der semantischen Klasse ihrer Modelle; verschiedene Theorien können dieselbe Modellklasse (im Sinne elementarer Äquivalenz) beschreiben, und eine Theorie kann nichtisomorphe Modelle haben, die alle ihre Sätze erfüllen.

Synthese

Eine Erste-Ordnungstheorie ist die deduktiv abgeschlossene Sammlung von Erstordnungsätzen in einer gegebenen Signatur, die eine Menge von Strukturen beschreibt, indem sie festlegt, was alle Modelle erfüllen müssen; sie verbindet syntaktische Axiome mit semantischen Modellklassen innerhalb der Grenzen der Erstordnungs-Expressivität.