Ein Randpunkt x eines Gebietes D, der nicht Endpunkt irgendeiner stetigen injektiven Abbildung γ : [0,1] → D mit γ(1) = x ist; mit anderen Worten, es existiert kein einfacher Bogen in D, der x erreicht, sodass x vom Inneren nicht mittels eines Pfades erreicht werden kann, ohne das Gebiet zu verlassen.

Prinzip

Unzugänglichkeit ist die Negation der wegweisen Erreichbarkeit: Ein Randpunkt ist unzugänglich, wenn kein einfacher innerer Bogen ihn als Endpunkt haben kann, unabhängig von möglichen konvergenten Folgen.

Demonstration

In einem ebenen Gebiet, das durch Entfernen einer abzählbaren Folge immer enger werdender nach innen gerichteter Spiralen entsteht, kann der Akkumulationspunkt der Spiralen nicht Endpunkt irgendeines Bogens in dem Gebiet sein und somit unzugänglich sein, obwohl er zur Grenze gehört und jede Umgebung Punkte des Gebietes enthält.

Fehlanwendung

Die Annahme, Unzugänglichkeit bedeute Isolierung vom Gebiet oder dass unzugängliche Punkte selten seien; unzugängliche Punkte können Häufungspunkte sein und auf Teilen der Grenze sogar dicht liegen, daher ist die Gleichsetzung von Unzugänglichkeit mit Abgelegenheit falsch.

Konsequenz

Ein unzugänglicher Randpunkt schränkt Konstruktionen ein, die auf dem Annähern entlang einfacher Kurven beruhen: Randkorrespondenzen, die kurvenbasiertes Erreichen voraussetzen, scheitern an solchen Punkten und erfordern spezialisierte Methoden (z. B. Prime Ends mit nicht‑einpunktiger Impression).

Umkehrung

Das Gegenstück ist der zugängliche Punkt, der mindestens einen einfachen Bogen aus dem Inneren besitzt, der in ihm endet; unzugängliche und zugängliche Punkte beschreiben komplementäre Wegverhaltensweisen an der Grenze.

Abgrenzung

Der Begriff setzt einen Rahmen voraus, in dem Bögen definiert sind (metrischer Raum oder wegzusammenhängende Topologie), und bezieht sich auf Punkte des Abschlusses, die zur Grenze gehören; er ist keine Aussage nur über Isolation oder Maßeigenschaften.

Semantische Spannung

Unzugänglichkeit steht im Widerspruch zur Annäherbarkeit durch Folgen: Ein Punkt kann durch Folgen aus dem Inneren erreichbar sein, aber durch keinen einfachen Bogen, wodurch sequentielle und wegbasierte Konzepte konkurrieren.

Synthese

Ein unzugänglicher Punkt ist ein Randpunkt eines Gebietes, der durch keinen einfachen stetigen Weg aus dem Inneren erreicht werden kann; er markiert eine topologische Barriere gegen kurvenweise Annäherung, selbst wenn Innensequenzen existieren.