Un espace topologique X est compactement généré (espace k) si sa topologie est déterminée par ses sous-espaces compacts : un ensemble A ⊆ X est fermé (ouvert) dans X si et seulement si A ∩ K est fermé (ouvert) dans K pour tout compact K ⊆ X ; équivalemment X porte la topologie finale relativement aux inclusions de ses compacts.

Principe

Réduire la vérification topologique globale à des contrôles sur des parties compactes de sorte que des constructions (notamment les espaces de fonctions avec la topologie compact-ouvert) se comportent bien catégoriquement ; les compacts génèrent la topologie au sens de la topologie finale/quotient induite par eux.

Démonstration

Les complexes CW et les espaces localement compacts de Hausdorff sont compactement générés ; la catégorie des espaces compactement générés et faiblesment Hausdorff est une catégorie convenable en topologie algébrique où produits, espaces de fonctions et colimites ont les propriétés attendues.

Mauvaise application

Confondre compactement généré avec localement compact ou séquentiel : un espace peut être compactement généré sans être localement compact, et ne pas vérifier l'hypothèse de génération par compacts peut faire échouer les lois exponentielles pour les espaces de fonctions.

Conséquence

L'utilisation d'espaces compactement générés garantit que la formation des espaces de fonctions et de nombreuses constructions catégoriques (produits, colimites) commute avec les opérations attendues, éliminant des pathologies de la catégorie naïve de tous les espaces topologiques et fournissant une théorie de l'homotopie mieux comportée.

Inversion

Dans la situation inverse, des topologies non déterminées par leurs compacts peuvent admettre des applications continues sur chaque compact mais pas globalement ; de tels espaces brisent les propriétés catégoriques souhaitées et compliquent la construction des espaces de fonctions.

Limite

La génération par compacts est une condition sur la manière de générer la topologie et n'implique pas en soi la propriété de Hausdorff, la localité de compacité ou la métrisabilité ; des variantes (faiblement Hausdorff, espaces k, k-compactness) précisent des contraintes supplémentaires de séparation ou de compacité.

Tension sémantique

La tension sémantique apparaît entre les espaces compactement générés et d'autres catégories « convenables » (par exemple espaces séquentiels, espaces localement compacts) : chaque choix implique des compromis entre différentes propriétés de clôture et des commodités techniques pour les constructions homotopiques.

Synthèse

Un espace compactement généré est un espace dont la topologie se teste sur les sous-ensembles compacts : en exigeant que continuité et clôture se vérifient sur les compacts, cette classe d'espaces forme une catégorie convenable où les espaces de fonctions et les constructions homotopiques se comportent de manière cohérente.